Question

20．已知二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象的頂點在第一象限內(nèi)的直線y=x上，且到原點的距離為2$\sqrt{2}$，則此二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+6．

Answer 1

分析 先把解析式配成頂點式得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{4}$m²+n），再根據(jù)題意得到-$\frac{1}{2}$m=-$\frac{1}{4}$m²+n，（$\frac{1}{2}$m）²+（-$\frac{1}{4}$m²+n）²=8，然后解關(guān)于m的一元二次方程即可．

解答 解：∵y=x²+mx+n=（x+$\frac{1}{2}$m）²-$\frac{1}{4}$m²+n，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{4}$m²+n），
∵二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象的頂點在第一象限內(nèi)的直線y=x上，且到原點的距離為2$\sqrt{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$m=-$\frac{1}{4}$m²+n，（$\frac{1}{2}$m）²+（-$\frac{1}{4}$m²+n）²=8，
∴m=±4（正值舍去），即m=-4，
∴此二次函數(shù)的解析式為y=（x-2）²+2，即y=x²-4x+6．
故答案為y=x²-4x+6．

點評 本題考查的是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中．利用配方法得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{4}$m²+n）是解題的關(guān)鍵．