Question

10．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），得到△A₁B₁C，連接BB₁，設(shè)B₁C交AB于D，A₁B₁分別交AB，AC于E，F(xiàn)
（1）在圖中不添加任何線段的情況下，請找出一對全等三角形，并加以證明（△ABC≌△A₁B₁C除外）；
（2）當(dāng)△BB₁D是等腰三角形時．求α．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定方法，來判定三角形全等．
（2）當(dāng)△BBD是等腰三角形時，要分別討論B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°．

解答 解：（1）△CBD≌△CA₁F，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC．
∵△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，
∴∠A₁=∠A，A₁C=AC，∠ACA₁=∠BCB₁=α．
∴∠A₁=∠CBD，A₁C=BC．
在△CBD與△CA₁F中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CBD=∠C{A}_{1}F}\\{BC={A}_{1}F}\\{∠BCD=∠{A}_{1}CF}\end{array}\right.$，
∴△CBD≌△CA₁F（ASA）．

（2）在△CBB₁中，∵CB=CB₁
∴∠CBB₁=∠CB₁B=$\frac{1}{2}$（180°-α）．
又∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°．
①若B₁B=B₁D，則∠B₁DB=∠B₁BD，
∵∠B₁DB=45°+α，∠B₁BD=∠CBB₁-45°=$\frac{1}{2}$（180°-α）-45°=45°-$\frac{α}{2}$，
∴45°+α=45°-$\frac{α}{2}$，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，
∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，則∠BDB₁=∠BB₁D，
即45°+α=$\frac{1}{2}$（180°-α），
解得：α=30°
綜上，當(dāng)△BB₁D為等腰三角形時，α=30°．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識點，根據(jù)△BB₁D是等腰三角形分類討論是解題的關(guān)鍵．