Question

19．如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于點(diǎn)O，點(diǎn)P是射線AC上一動點(diǎn)，點(diǎn)D是射線BC上一動點(diǎn)，PB=PD．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段OA上，DE⊥AC于點(diǎn)E．，求證：△BPO≌△PDE．
（2）特殊位置，證明結(jié)論
當(dāng)PB平分∠ABO，其余條件不變．試探究線段CD和AP的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（3）拓展應(yīng)用，探索新知
當(dāng)點(diǎn)P在射線OC上運(yùn)動時時，其余條件不變．若OP=nCP時，請直接寫出CD與AP的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過程）

Answer 1

分析 （1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）分當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上和點(diǎn)P在線段OC延長線上兩種情況解答即可．

解答 （1）證明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO-∠1，∠4=∠2-∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠BOP=∠PED}\\{BP=PD}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）CD=AP，理由如下：
由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{∠ABP=∠4}\\{PB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．  
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時，CD=$\frac{\sqrt{2}n}{2n+1}$AP；
當(dāng)點(diǎn)P在線段OC延長線上時，CD=$\frac{\sqrt{2}n}{2n-1}$AP．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．