Question

1．已知△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，AE交CD于點(diǎn)M
（1）如圖1，連接DE，求證：∠BED=45°
（2）如圖2，點(diǎn)F在線(xiàn)段AC上，且∠ABF=∠BCD，BF交CD于H、交AE于G，∠EGF的角平分線(xiàn)交AC于N，連接DN，請(qǐng)?zhí)骄烤�(xiàn)段AM和DN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）連接DE，由題意得出∠ADC=∠BDC=∠AEC=90°，證出A、C、E、D四點(diǎn)共圓，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出∠BED=∠BAC=45°；
（2）連接BN，由角的互余關(guān)系得出∠GAB=∠BCD，證出∠GAB=∠ABF，得出AG=BG，證出∠AGN=∠BGN，由SAS證明△AGN≌△BGN，得出BN=AN，證出角ANB=90°，由三角形的高交于一點(diǎn)，得出點(diǎn)M在BN上，證出DA=DC，由ASA證明△ADM≌△CDB，得出AM=BC，再證明B、C、N、D四點(diǎn)共圓，得出∠BND=∠BCD，證出△MDN∽△MBC，得出$\frac{MC}{MN}=\frac{BC}{DN}$，證明△MNC是等腰直角三角形，得出MC=$\sqrt{2}$MN，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接DE，如圖1所示：
∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠ADC=∠BDC=∠AEC=90°，
∴A、C、E、D四點(diǎn)共圓，
∴∠BED=∠BAC=45°；
（2）解：AM=$\sqrt{2}$DN；理由如下：
連接BN，如圖2所示：
∵∠BDC=∠AEC=90°，
∴∠GAB+∠ABC=∠BCD+∠ABC，
∴∠GAB=∠BCD，
∵∠ABF=∠BCD，
∴∠GAB=∠ABF，
∴AG=BG，
∵GN是∠EGF的角平分線(xiàn)，
∴∠FGN=∠EGN，
又∵∠AGF=∠BGE，
∴∠AGN=∠BGN，
在△AGN和△BGN中，$\left\{\begin{array}{l}{AG=BG}&{\;}\\{∠AGN=∠BGN}&{\;}\\{GN=GN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGN≌△BGN（SAS），
∴BN=AN，
∵∠BAC=45°，
∴∠ANB=90°，
∵三角形的高交于一點(diǎn)，
∴點(diǎn)M在BN上，
∵∠BAC=45°，∠ADC=90°，
∴∠ACD=45°，
∴DA=DC，
在△ADM和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAB=∠BCD}&{\;}\\{DA=DC}&{\;}\\{∠ADC=∠BDC=90°}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDB（ASA），
∴AM=BC，
∵∠BNC=∠BDC=90°，
∴B、C、N、D四點(diǎn)共圓，
∴∠BND=∠BCD，
又∵∠DMN=∠BNC，
∴∠MDN=∠MBC，
∴△MDN∽△MBC，
∴$\frac{MC}{MN}=\frac{BC}{DN}$，
∵∠ACD=45°，∠BNC=90°，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴MC=$\sqrt{2}$MN，
∴BC=$\sqrt{2}$DN，
∴AM=$\sqrt{2}$DN．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，考查了四點(diǎn)共圓、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是（2）中，需要證明四點(diǎn)共圓、兩次證明三角形全等以及三角形相似才能得出結(jié)論．