Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=α，將△ABC旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后得到△AED，CE交AB于點(diǎn)N，交BD于點(diǎn)M．
（1）求證：M為BD的中點(diǎn)；
（2）若CN=CA=m，求BD的長(zhǎng)（用含m、n的式子表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，△ABD和△ACE是等腰三角形，設(shè)∠BAE=x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求得∠ACE=∠AEC=∠ABD=∠ADB=90°-$\frac{1}{2}$（α+x），進(jìn)一步求得∠BMN=∠BAC=α，即可證得△BNM∽△CNA，得出$\frac{BN}{CN}$=$\frac{MN}{AN}$，進(jìn)而證得△BCN∽△MNA，得出∠ABC=∠AMN，證得AM⊥BD，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）證得△CNA是等腰三角形，從而得出AN=2m•cosα，AB=$\frac{m}{cosα}$，進(jìn)一步得出BN=AB-AN=$\frac{m}{cosα}$-2m•cosα，然后證得∠BNM=∠BMN，根據(jù)等角對(duì)等邊證得BM=BN=$\frac{m}{cosα}$-2m•cosα，即可得出BD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：將△ABC旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后得到△AED，
則AB=AD，AC=AE，
∴△ABD和△ACE是等腰三角形，
∵∠BAC=α，設(shè)∠BAE=x，
∴∠CAE=α+x，
∵∠CAE=∠BAD=α+x，
∴∠ACE=∠AEC=∠ABD=∠ADB=$\frac{180-（α+x）}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$（α+x），
∵∠BCM=90°-∠ACE=90°-[90°-$\frac{1}{2}$（α+x）]=$\frac{1}{2}$（α+x），
∠CBM=∠CBA+∠ABD=90°-α+90°-$\frac{1}{2}$（α+x）
在△BCM中，∠BMC=180°-∠CBM-∠BCM=190°-[90°-α+90°-$\frac{1}{2}$（α+x）]-$\frac{1}{2}$（α+x）=α，
∴∠BMN=∠BAC=α，
∵∠BNM=∠ANC，
∴△BNM∽△CNA，
∴$\frac{BN}{CN}$=$\frac{MN}{AN}$，
連接AM，
∵∠BNC=∠MNA，
∴△BCN∽△MNA，
∴∠ABC=∠AMN，
∵∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠BMN+∠AMN=90°，
∴AM⊥BD，
∴M為BD的中點(diǎn)；

（2）解：若CN=CA=m，則△CNA是等腰三角形，
∴∠CAB=∠ANC=α，
∴∠ACE=180°-2α，
∵∠ACE=90°-$\frac{1}{2}$（α+x），
∴180°-2α=90°-$\frac{1}{2}$（α+x），
∴x=3α-180°，
∵AN=2m•cosα，AB=$\frac{m}{cosα}$，
∴BN=AB-AN=$\frac{m}{cosα}$-2m•cosα，
∵∠BNM=∠ANC=α，∠CMB=α，
∴∠BNM=∠BMN，
∴BM=BN=$\frac{m}{cosα}$-2m•cosα，
∴BD=2BM=2m（$\frac{1}{cosα}$-2cosα）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，求得三角形相似是解題的關(guān)鍵．