Question

如圖，已知⊙O上A、B、C三點，∠BAC=∠BCD，D是OB延長線上的點，∠BDC=30°，⊙O半徑為2，AO⊥BO，BO與AC交于點E．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求證：AB²=AE•AC；
（3）求AC：AE的值．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得∠BAC=

1

2

∠BOC，加上∠BAC=∠BCD，則∠BCD=

1

2

∠BOC，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計算出∠OCB=∠OBC=90°-

1

2

∠BOC，則∠OCB+∠BCD=90°，即∠OCD=90°，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到CD是⊙O的切線；
（2）由AO⊥BO得∠AOB=90°，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=

1

2

∠AOB=45°，再證明△AOB為等腰直角三角形得到∠ABO=45°，則可判斷△ABE∽△ACB，利用相似比可比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）作BH⊥AC于H，如圖，先利用互余計算出∠COD=60°，則可判斷△BOC為等邊三角形，則BC=OC=2，利用∠BCH=45°可得CH=BH=

2

2

BC=

2

，利用∠BAC=

1

2

∠BOC=30°可得AB=2BH=2

2

，AH=

3

BH=

6

，所以AC=AH+CH=

6

+

2

，然后根據(jù)AB²=AE•AC可計算出AE，再計算AC：AE的值．

解答：（1）證明：∵∠BAC=

1

2

∠BOC，∠BAC=∠BCD，
∴∠BCD=

1

2

∠BOC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=

1

2

（180°-∠BOC）=90°-

1

2

∠BOC，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）證明：∵AO⊥BO，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=

1

2

∠AOB=45°，
∵OA=OB，
∴△AOB為等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
∴∠ABO=∠ACB，
而∠BAE=∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
∴AB：AC=AE：AB，
∴AB²=AE•AC；
（3）解：作BH⊥AC于H，如圖，
∵∠BDC=30°，∠OCD=90°，
∴∠COD=60°，
∴△BOC為等邊三角形，
∴BC=OC=2，
∵∠BCH=45°，
∴CH=BH=

2

2

BC=

2

，
∵∠BAC=

1

2

∠BOC=30°，
∴AB=2BH=2

2

，AH=

3

BH=

6

，
∴AC=AH+CH=

6

+

2

，
∵AB²=AE•AC，
∴（2

2

）²=AE•（

6

+

2

），解得AE=2

6

-2

2

，
∴AC：AE=（

6

+

2

）：（2

6

-2

2

）=（2+

3

）：2．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．