Question

18．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC交于點(diǎn)D、E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，BC=2$\sqrt{2}$，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）欲證明DF是⊙O的切線只要證明DF⊥OD，只要證明OD∥AC即可．
（2）連接AD，首先利用勾股定理求出AD，由△ADC∽△DFC可得$\frac{AD}{DF}$=$\frac{AC}{DC}$，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切線

（2）連接AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，又∵AB=AC
∴BD=DC=$\sqrt{2}$
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=，
∵DF⊥AC，
∴△ADC∽△DFC
∴$\frac{AD}{DF}$=$\frac{AC}{DC}$，
∴$\frac{\sqrt{14}}{DF}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$，
∴DF=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．