Question

7．如圖（圖1），點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，連接CN、DM．
（1）求證：△ADM≌△DCN；
（2）如圖（圖2），設(shè)CN、DM的交點(diǎn)為H，連接BH，求證：BC=BH；
（3）將△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延長(zhǎng)MA′交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖（圖3），求tan∠DEM．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明△ADM≌△DCN；
（2）延長(zhǎng)DM、CB交于點(diǎn)P，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BP=AD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明即可；
（3）根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到∠AMD=∠DME，根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定定理得到EM=ED，根據(jù)勾股定理、正弦的概念計(jì)算即可．

解答 證明：（1）∵點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，
∴AM=DN．AD=DC．∠A=∠CDN，
在△AMD和△DNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=DN}\\{∠A=∠CDN}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△DNC（SAS）；
（2）如圖2，延長(zhǎng)DM、CB交于點(diǎn)P，
∵AD∥BC，MA=MB，
∴BP=AD=BC．
∵由（1）可得∠CHP=90°，
∴∠PHC=90°，
∴BH=$\frac{1}{2}$PC=BC；
（3）∵將△ADM沿DM翻折得到△A′DM，
∴∠AMD=∠DME，
∵AB∥DC，
∴∠EDM=∠AMD=∠DME，
∴EM=ED．
設(shè)AD=A′D=4a，則A′M=AM=2a，
∴DE=ME=EA′+2a．
在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²=DE²，
∴（4a）²+A′E²=（EA′+2a）²，
解得A′E=3a，
∴在直角△A′DE中，tan∠DEM=A′D：A′E=$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、正弦的概念、翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握翻轉(zhuǎn)變換是軸對(duì)稱、全等三角形、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．