Question

8．如圖所示，每一條直線(xiàn)上的4個(gè)圓圈都與某個(gè)二次方程x²+px+q=0及其根x₁，x₂相聯(lián)系，中間兩個(gè)數(shù)字是x₁與x₂，兩端的兩個(gè)數(shù)字為p，q，那么任一滿(mǎn)足條件的圓圈A中的數(shù)字是0．

Answer 1

分析 以2為系數(shù)、-1為根的方程x²+px+q=0有如下兩種情況：①若p=2，x₁=-1，即x²+2x+q=0；求出q的值及方程的另一個(gè)根，繼而可設(shè)以1為系數(shù)、-3和A為根的方程為x²+p₁x+q₁=0，以0為系數(shù)、-1和A為根的方程為x²+p₂x+q₂=0，由韋達(dá)定理可得$\left\{\begin{array}{l}{-3+A=-{p}_{1}}&{①}\\{-3A={q}_{1}}&{②}\\{-1+A=-{p}_{2}}&{③}\\{-A={q}_{2}}&{④}\end{array}\right.$，就此時(shí)所有可能p₁=1，p₂=0、p₁=1，q₂=0、q₁=1，p₂=0、q₁=1，q₂=0分別求出A的值，從而得出判斷；②若q=2，x₂=-1，即x²+px+2=0；與①同理可得．

解答 解：以2為系數(shù)、-1為根的方程x²+px+q=0有如下兩種情況：
1、若p=2，x₁=-1，即x²+2x+q=0，
將x₁=-1代入x²+2x+q=0，得：q=1，
即方程為x²+2x+1=0，
解得：x₁=x₂=-1，
如圖1：

設(shè)以1為系數(shù)、-3和A為根的方程為x²+p₁x+q₁=0，以0為系數(shù)、-1和A為根的方程為x²+p₂x+q₂=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{-3+A=-{p}_{1}}&{①}\\{-3A={q}_{1}}&{②}\\{-1+A=-{p}_{2}}&{③}\\{-A={q}_{2}}&{④}\end{array}\right.$，
若p₁=1，p₂=0，代入①得：A=2，代入③得A=1，不符合題意；
若p₁=1，q₂=0，代入①得A=2，代入④得A=0，不符合題意；
若q₁=1，p₂=0，代入②得A=-$\frac{1}{3}$，代入③得A=1，不符合題意；
若q₁=1，q₂=0，代入②得A=-$\frac{1}{3}$，代入④得A=0，不符合題意；

2、若q=2，x₂=-1，即x²+px+2=0，
將x₂=-1代入x²+px+2=0，得：p=3，
即方程為x²+3x+2=0，
解得：x₁=-2，x₂=-1，
如圖2，

設(shè)以3為系數(shù)、-3和A為根的方程為x²+p₁x+q₁=0，以0為系數(shù)、-2和A為根的方程為x²+p₂x+q₂=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{-3+A=-{p}_{1}}&{①}\\{-3A={q}_{1}}&{②}\\{-2+A=-{p}_{2}}&{③}\\{-2A={q}_{2}}&{④}\end{array}\right.$，
若p₁=3，p₂=0，代入①得A=0，代入③得A=2，不符合題意；
若p₁=3，q₂=0，代入①得A=0，代入④得A=0，符合題意；
若q₁=3，p₂=0，代入②得A=-1，代入③得A=2，不符合題意；
若q₁=3，q₂=0，代入②得A=-1，代入④得A=0，不符合題意；
綜上，任一滿(mǎn)足條件的圓圈A中的數(shù)字是0，
故答案為：0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查方程的解和解方程的能力及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖中數(shù)字的分布羅列所有的可能結(jié)果．