Question

13．三條邊相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°．
（1）如圖①，D，E為等邊三角形ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，連接BE、CD，它們相交于點(diǎn)F，用量角器量得∠BFC=120°．
（2）如圖②，在邊AB上任取一點(diǎn)D，邊AC上取一點(diǎn)E，使AD=CE，連接BE、CD，它們相交于點(diǎn)F，用量角器量得∠BFC=120°．試說(shuō)明理由；
（3）若D、E兩點(diǎn)在兩邊的延長(zhǎng)線上，則兩線的交角又是多少？請(qǐng)證明你的猜想；
（4）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)把你的結(jié)論與大家共享．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）證明△ACD≌△CBE得到∠ACD=∠CBE，而∠ACD+∠FCB=60°，則∠CBE+∠FCB=60°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到∠BFC的度數(shù)；
（3）由△ABC是等邊三角形，得到∠BAC=∠BCA=60°，AC=BC，由全等三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠CBE，∠D=∠E，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（4）根據(jù)以上結(jié)論得到結(jié)果．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，D，E為等邊三角形ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴∠CDB=90°，∠DBE=$\frac{1}{2}∠$ABC=30°，
∴∠BFC=∠CDB+∠DBF=120°，
故答案為：120°；
（2）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BCE=60°，AC=BC，
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ACD=∠CBE，
而∠ACD+∠FCB=60°
∴∠CBE+∠FCB=60°，
∴∠BFC=180°-（∠CBE+∠FCB）=180°-60°=120°，
故答案為：120°；
（3）∠BFC=60°，理由如下：
如圖③，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BCA=60°，AC=BC，
∴∠DAC=∠ECB=120°，
在△ACD和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}&{\;}\\{∠DAC=∠ECB}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠ACD=∠CBE，∠D=∠E，
∵∠ACD=∠FCE，
∴∠BFC=∠E+∠FCE=∠D+∠ACD=∠BAC=60°；
（4）在等邊三角形的邊AB或BA的延長(zhǎng)線上以及AC或AC的延長(zhǎng)線上，分別取D，E使，AD=CE，連接BE，CD，相交于F，那么∠BFC等于120°或60°

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等三角形得出對(duì)應(yīng)角相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．