Question

12．如圖，在△ABC中，AB=AC=2，點(diǎn)D在AC邊上，且AD=BD=BC，則cosA的值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

Answer 1

分析 設(shè)AD=x，則BC=BD=AD=x、CD=2-x，證△ABC∽△BDC，根據(jù)$\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{BC}$得關(guān)于x的方程，解方程可得x的值即AD的長，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E得AE=1，由余弦定義可得cosA的值．

解答 解：∵AB=AC=2，BC=BD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{BC}$，
設(shè)AD=x，則BC=BD=AD=x，CD=2-x，
則$\frac{x}{2-x}=\frac{2}{x}$，即x2+2x-4=0，
解得：x=-1-$\sqrt{5}$（舍）或x=-1+$\sqrt{5}$，
過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∵AD=BD，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴cosA=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{1}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義，構(gòu)建直角三角形求所需線段的長是解題的出發(fā)點(diǎn)，熟練掌握相似判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．