Question

某市去年11月份曾發(fā)生流行性感冒（簡稱流感），據(jù)資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：一元一次不等式組的應(yīng)用

專題：

分析：設(shè)11月1日，該市第n日（n∈N^*，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人數(shù)最多．則從11月1日至第n日，每日感染此病毒的新患者人數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．其首項(xiàng)為20，公差為50．前n日患者總?cè)藬?shù) S_n=25n²-5n．從第n+1日開始至11月30日止，每日感染此病毒的新患者人數(shù)依次構(gòu)成另一個(gè)等差數(shù)列．其首項(xiàng)為20+（n-1）×50-30=50n-60，公差為-30．項(xiàng)數(shù)為（30-n），其患者總?cè)藬?shù)為T_30-n=-65n²+2445n-14850．利用S_n+T_30-n=8675，即可得出．

解答：解：設(shè)11月1日，該市第n日（n∈N^*，1≤n≤30）感染此病毒的新患者人數(shù)最多．
則從11月1日至第n日，每日感染此病毒的新患者人數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列．其首項(xiàng)為20，公差為50．
前n日患者總?cè)藬?shù) S_n=20n+

n(n-1)

2

×50=25n²-5n．
從第n+1日開始至11月30日止，每日感染此病毒的新患者人數(shù)依次構(gòu)成另一個(gè)等差數(shù)列．
其首項(xiàng)為20+（n-1）×50-30=50n-60，公差為-30．項(xiàng)數(shù)為（30-n），
其患者總?cè)藬?shù)為T_30-n=（30-n）（50n-60）+

(30-n)(29-n)

2

×（-30）
=-65n²+2445n-14850．
由題意可得S_n+T_30-n=8670，即（25n²-5n）+（-65n²+2445n-14850）=8670．
化為n²-61n+588=0，解得n=12（1≤n≤30）．
∴n=12，第12日的新患者人數(shù)為20+（12-1）×50=570．
∴11月12日該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多，且這一天患者人數(shù)為570．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是總結(jié)出前n日患者總?cè)藬?shù)的通式．同時(shí)也考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．