Question

20．如圖，△ABC中，BD、CE分別是AC、AB上的高，BD與CE交于點O．BE=CD
（1）問△ABC為等腰三角形嗎？為什么？
（2）連接AO，直線AO是線段BC的垂直平分線嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）先利用HL證明Rt△BCD與Rt△CBE全等，然后根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ABC=∠ACB，再根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AB=AC，所以△ABC是等腰三角形；
（2）根據(jù)（1）中Rt△BCD≌Rt△CBE，然后利用全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=CE，對應(yīng)角相等可得∠BCE=∠CBD，然后利用等角對等邊可得BO=CO，相減可得OD=OE，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上即可證明．

解答 解：（1）△ABC是等腰三角形．
理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，
∴△BCD與△CBE是直角三角形，
在Rt△BCD與Rt△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{BC=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；

（2）直線AO是線段BC的垂直平分線．
理由如下：∵Rt△BCD≌Rt△CBE，
∴BD=CE，∠BCE=∠CBD，
∴BO=CO，
∴BD-BO=CE-CO，
即OD=OE，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴點O在∠A的平分線上，
∵AB=AC，
∴直線AO是線段BC的垂直平分線．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的性質(zhì)，證明出全等三角形是解題的關(guān)鍵．