Question

15．如圖，在△ABC和△DCB中，∠1=∠2，∠3=∠4，P是BC上任意一點(diǎn)．
（1）求證：PA=PD；
（2）若點(diǎn)P改為BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，結(jié)論還成立嗎？為什么？
（3）若P點(diǎn)是AD與BC的交點(diǎn)，我們還能得到什么新的結(jié)論？直接寫出你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由已知兩對(duì)角相等，且夾邊為公共邊相等，利用ASA得到△ABC≌△DBC，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AB=DB，再利用SAS得到△ABP≌△DBP，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）同（1）中證明相同，進(jìn)而證明即可；
（3）當(dāng)P點(diǎn)是AD與BC的交點(diǎn)時(shí)，可以得出AD⊥BC結(jié)論．

解答 解：（1）在△ABC和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=BC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB=DB，
在△ABP和△DBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠1=∠2}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBP（SAS），
∴AP=DP；
（2）成立，理由如下：
在△ABC和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=BC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB=DB，
在△ABP和△DBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠1=∠2}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBP（SAS），
∴AP=DP；
（3）當(dāng)P點(diǎn)是AD與BC的交點(diǎn)時(shí)，得出AD⊥BC，理由如下：
在△ABC和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{BC=BC}\\{∠3=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB=DB，
在△ABP和△DBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠1=∠2}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBP（SAS），
∴∠APB=∠BPD=90°，
∴AD⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．