Question

如圖，Rt△ADE中，∠D=90°，點(diǎn)O為斜邊上一點(diǎn)，以AB為直徑的⊙O交ED于點(diǎn)C，連接CA、CB、CF，

BC

=

CF

，
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）求證：AF+2DF=AB．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)條件可證明∠OCA=∠CAF，可證得OC∥AD，由條件可得出OC⊥DE，可得結(jié)論；
（2）過(guò)C作CM⊥AB于M，可證明△AMC≌△ADC，△BMC≌△FDC，可證得結(jié)論．

解答：證明：
（1）如圖1，連接OC，

∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵

BC

=

CF

，
∴∠OAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵∠D=90°，
∴∠OCE=90°，即OC⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）如圖2，過(guò)C作CM⊥AB于M，

∵

BC

=

CF

，
∴∠MAC=∠DAC，
在△MAC和△DAC中

∠MAC=∠DAC ∠CMA=∠D AC=AC

∴△MAC≌△DAC（AAS），
∴AM=AD，CM=CD，
∵

BC

=

CF

，
∴BC=CF，
在Rt△BCM和Rt△FCD中

BC=CF CM=CD

∴Rt△BCM≌Rt△FCD（HL），
∴BM=FD，
∴AB=AM+BM=AD+DF=AF+2DF，
即AF+2DF=AB．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)和判定及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握切線的兩種證明方法，即①有切點(diǎn)時(shí)，連接圓心和切點(diǎn)證明垂直，②無(wú)切點(diǎn)時(shí)作垂直，證明距離等于半徑是解題的關(guān)鍵．