Question

問題探究
（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使△APD為等腰三角形，那么請畫出滿足條件的一個等腰三角形△APD，并求出此時BP的長；
（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD=6時，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF=90°，求此時BQ的長；
問題解決
（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，問在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°？若存在，請求出符合條件的DM的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,三角形中位線定理,矩形的性質(zhì),正方形的判定與性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系,特殊角的三角函數(shù)值

專題：壓軸題,存在型

分析：（1）由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，需三種情況討論，運(yùn)用三角形全等、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識即可解決問題．
（2）以EF為直徑作⊙O，易證⊙O與BC相切，從而得到符合條件的點(diǎn)Q唯一，然后通過添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識即可求出BQ長．
（3）要滿足∠AMB=60°，可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)，然后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，就可算出符合條件的DM長．

解答：解：（1）①作AD的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，如圖①，
則PA=PD．
∴△PAD是等腰三角形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°．
∵PA=PD，AB=DC，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．
∴BP=CP．
∵BC=4，
∴BP=CP=2．
②以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P′，如圖①，
則DA=DP′．
∴△P′AD是等腰三角形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．
∵AB=3，BC=4，
∴DC=3，DP′=4．
∴CP′=

42-32

=

7

．
∴BP′=4-

7

．
③點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P″，如圖①，
則AD=AP″．
∴△P″AD是等腰三角形．
同理可得：BP″=

7

．
綜上所述：在等腰三角形△ADP中，
若PA=PD，則BP=2；
若DP=DA，則BP=4-

7

；
若AP=AD，則BP=

7

．

（2）∵E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC．
∵BC=12，
∴EF=6．
以EF為直徑作⊙O，過點(diǎn)O作OQ⊥BC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖②．
∵AD⊥BC，AD=6，
∴EF與BC之間的距離為3．
∴OQ=3
∴OQ=OE=3．
∴⊙O與BC相切，切點(diǎn)為Q．
∵EF為⊙O的直徑，
∴∠EQF=90°．
過點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，如圖②．
∵EG⊥BC，OQ⊥BC，
∴EG∥OQ．
∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，
∴四邊形OEGQ是正方形．
∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．
∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，
∴BG=

3

．
∴BQ=GQ+BG=3+

3

．
∴當(dāng)∠EQF=90°時，BQ的長為3+

3

．

（3）在線段CD上存在點(diǎn)M，使∠AMB=60°．
理由如下：
以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG，
作GP⊥AB，垂足為P，作AK⊥BG，垂足為K．
設(shè)GP與AK交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，
過點(diǎn)O作OH⊥CD，垂足為H，如圖③．
則⊙O是△ABG的外接圓，
∵△ABG是等邊三角形，GP⊥AB，
∴AP=PB=

1

2

AB．
∵AB=270，
∴AP=135．
∵ED=285，
∴OH=285-135=150．
∵△ABG是等邊三角形，AK⊥BG，
∴∠BAK=∠GAK=30°．
∴OP=AP•tan30°
=135×

3

3

=45

3

．
∴OA=2OP=90

3

．
∴OH＜OA．
∴⊙O與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為M，連接MA、MB，如圖③．
∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90

3

．．
∵OH⊥CD，OH=150，OM=90

3

，
∴HM=

OM2-OH2

=

(90 3 )2-1502

=30

2

．
∵AE=400，OP=45

3

，
∴DH=400-45

3

．
若點(diǎn)M在點(diǎn)H的左邊，則DM=DH+HM=400-45

3

+30

2

．
∵400-45

3

+30

2

＞340，
∴DM＞CD．
∴點(diǎn)M不在線段CD上，應(yīng)舍去．
若點(diǎn)M在點(diǎn)H的右邊，則DM=DH-HM=400-45

3

-30

2

．
∵400-45

3

-30

2

＜340，
∴DM＜CD．
∴點(diǎn)M在線段CD上．
綜上所述：在線段CD上存在唯一的點(diǎn)M，使∠AMB=60°，
此時DM的長為（400-45

3

-30

2

）米．

點(diǎn)評：本題考查了垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、三角形的中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、特殊角的三角函數(shù)值等知識，考查了操作、探究等能力，綜合性非常強(qiáng)．而構(gòu)造等邊三角形及其外接圓是解決本題的關(guān)鍵．