Question

1．已知△ABC，將邊AC繞點A順時旋轉(zhuǎn)60°得到AD，將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE連接CD，CE，且點B在CD上
（1）求證：CE=BD；
（2）求證：∠AFE=∠ABD；
（3）若AC=2，求△ECB的周長最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠AFE=120°-∠1，∠ABD═120°-∠3，由于∠1=∠3，于是得到∠AFE=∠ABD；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到EB=AB，由于CE=BD，于是得到△ECB的周長=EB+BC+EC=AB+BC+BD=AB+CD=AB+AC=AB+2，當(dāng)AB最小時，△ECB的周長最小，當(dāng)AB⊥CD時，AB最小，即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：在△AEC與△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AD}\\{∠1=∠3}\\{AE=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△ABD，
∴CE=BD；

（2）證明：∵∠AFE=180°-∠1-∠4=180°-∠1-60°=120°-∠1，
∠ABD=180°-∠3-∠D=180°-∠3-60°=120°-∠3，
∵∠1=∠3，
∴∠AFE=∠ABD；

（3）解：∵△AEB是等邊三角形，
∴EB=AB，
∵CE=BD，
∴△ECB的周長=EB+BC+EC=AB+BC+BD=AB+CD=AB+AC=AB+2，
∴當(dāng)AB最小時，△ECB的周長最小，
當(dāng)AB⊥CD時，AB最小，
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴ECB的周長最小值=2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查的是圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟知旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解答此題的關(guān)鍵．