Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點C與點E重合），點B、C（E）、F在同一條直線上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm。

如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，以2 cm/s的速度沿BA向點A勻速移動。當△DEF的頂點D移動到AC邊上時，△DEF停止移動，點P也隨之停止移。DE與AC相交于點Q，連接PQ，設(shè)移動時間為t（s）（0＜t＜4.5）。解答下列問題：

（1）當t為何值時，點A在線段PQ的垂直平分線上？

（2）連接PE，設(shè)四邊形APEC的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使面積y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，說明理由。

（3）是否存在某一時刻t，使P、Q、F三點在同一條直線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由。（圖（3）供同學(xué)們做題使用）

 

 

Answer 1

(1)2；（2），當t=3時，y最小=.（3）1s.

【解析】

試題分析：（1）因為點A在線段PQ垂直平分線上，所以得到線段相等，可得CE=CQ，用含t的式子表示出這兩個線段即可得解；

（2）作PM⊥BC，將四邊形的面積表示為S△ABC-S△BPE即可求解；

（3）假設(shè)存在符合條件的t值，由相似三角形的性質(zhì)即可求得．

（1）∵點A在線段PQ的垂直平分線上，

∴AP=AQ.

∵∠DEF=45°，∠ACB=90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC=180°，

∴∠EQC=45°.

∴∠DEF=∠EQC.

∴CE=CQ．

由題意知：CE=t，BP=2t，

∴CQ =t.

∴AQ=8－t.

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=10cm .

則AP=10－2t.

∴10－2t=8－t.

解得：t=2.

答：當t=2s時，點A在線段PQ的垂直平分線上.

（2）過P作PM⊥BE，交BE于M，

∴.

在Rt△ABC和Rt△BPM中，，

∴．

∴PM=.

∵BC=6cm，CE=t，

∴ BE=6－t.

∴y = S△ABC－S△BPE =

=

=.

∵，

∴拋物線開口向上.

∴當t=3時，y最小=.

答：當t=3s時，四邊形APEC的面積最小，最小面積為cm2．

（3）假設(shè)存在某一時刻t，使點P、Q、F三點在同一條直線上.

過P作PN⊥AC，交AC于N，

∴.

∵，

∴△PAN ∽△BAC.

∴.

∴.

∴，.

∵NQ=AQ－AN，

∴NQ=8－t－() =．

∵∠ACB=90°，B、C（E）、F在同一條直線上，

∴∠QCF=90°，∠QCF =∠PNQ.

∵∠FQC =∠PQN，

∴△QCF∽△QNP .

∴．

∴．

∵

∴

解得：t=1.

答：當t=1s，點P、Q、F三點在同一條直線上．

考點：1.二次函數(shù)的最值；2.線段垂直平分線的性質(zhì)；3.勾股定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì)．