Question

15．如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上．
（1）若∠MBN=45°且∠ABM=∠CBN，則易證③．（選擇正確答案填空）
①AM+CN＞MN；②$\sqrt{2}$（AM+CN）=MN；③MN=AM+CN．
（2）若∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC，在（1）中線段MN、AM、CN之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立給予證明，若不成立探究出它們之間關(guān)系．
【拓展】如圖2，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC與∠ADC互補．點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC，試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出猜想并證明．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BD于MN交于點H，如圖1（1），根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ABH=∠CBH=45°，BA=BC，由于∠MBN=45°，∠ABM=∠CBN，則∠ABM=∠HBM=∠HBN=∠CBN，再證明△ABM≌△CBN得到BM=BN，AM=CN，接著根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷BH⊥MN，于是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得MA=MH，NH=NC，所以有MN=AM+CN；
（2）把△BAM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCP，如圖1（2），根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BM=BP，AM=CP，∠MBP=90°，∠BCP=∠A=90°，再證明點P在DC的延長線上，則NC+CP=NP，利用∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°得到∠NBP=45°，接著可證明△BNM≌△BNP，則MN=NP，于是有MN=CP+CN=AM+CN；
【拓展】如圖2，由于∠ABC+∠ADC=180°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠BAD+∠BCD=180°，則∠BAM=∠BCD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，可把△BAM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCQ，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAM=∠BCQ，BM=BQ，∠MBQ=∠ABC，則∠BCQ=∠BCD，則可判斷點Q在CN上得到CN=CQ+MQ=AM+NQ，然后證明△BMN≌△BQN得到MN=QN，則CN=AM+MN．

解答 （1）解：設(shè)BD于MN交于點H，如圖1（1），
∵BD為正方形ABCD的正方形，
∴∠ABH=∠CBH=45°，BA=BC，
∵∠MBN=45°，∠ABM=∠CBN，
∴∠ABM=∠HBM=∠HBN=∠CBN，
在△ABM和△CBN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=CB}\\{∠ABM=∠CBN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBN，
∴BM=BN，AM=CN，
而∠HBM=∠HBN，
∴BH⊥MN，
∴MA=MH，NH=NC，
∴AM=MH=HN=NC，
∴MN=AM+CN；
故答案為③；
（2）解：在（1）中線段MN、AM、CN之間的數(shù)量關(guān)系仍然成立．理由如下：
把△BAM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCP，如圖1（2），
∴BM=BP，AM=CP，∠MBP=90°，∠BCP=∠A=90°，
∵∠BCP+∠BCN=180°，
∴點P在DC的延長線上，
∴NC+CP=NP，
∵∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠NBP=45°，
在△BNM和△BNP中
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BP}\\{∠MBN=∠PBN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△BNM≌△BNP，
∴MN=NP，
∴MN=CP+CN=AM+CN；
【拓展】解：如圖2，∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BAD+∠BAM=180°，
∴∠BAM=∠BCD，
∵AB=BC，
∴把△BAM繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCQ，
∴∠BAM=∠BCQ，BM=BQ，∠MBQ=∠ABC，
∴∠BCQ=∠BCD，
∴點Q在CN上，
∴CN=CQ+MQ=AM+NQ，
∵∠MBN=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠MBN=$\frac{1}{2}∠$MBQ，
∴∠MBN=∠QBN，
在△BMN和△BQN中
$\left\{\begin{array}{l}{BM=BQ}\\{∠MBN=∠QBN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△BMN≌△BQN，
∴MN=QN，
∴CN=AM+MN，
即MN=CN-AM．

點評 本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；靈活應(yīng)用全等三角形的判定與性質(zhì)解決線段相等的問題；解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形．