Question

3．如圖△ABC，△DMN中∠A=∠MDN=90°，AB=AC=4，D為BC邊中點(diǎn)，繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)△DMN．使得DM與線段AB交于E點(diǎn)（不與A、B重合），DN邊與線段AC交于F點(diǎn)
（1）求證：DE=DF；
（2）△DMN轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，判斷四邊形AEDF的面積是否變化？若不變，請說明理由；
（3）△DMN轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，判斷△DEF的面積有沒有最大或最小值？若有求出此時(shí)的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AD，由等腰直角三角形的性質(zhì)和已知條件證出∠ADE=∠CDF．由ASA證明△AED≌△CFD，得出對應(yīng)邊相等即可；
（2）由（1）得：△AED≌△CFD，同理：△BDE≌△ADF，即可得出四邊形AEDF的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積；
（3）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A或B重合時(shí)，△DEF的面積最大，△DEF面積的最大值=△ABD的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積=4；當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，△DEF的面積最小，△DEF面積的最小值=$\frac{1}{4}$△ABC的面積=2．

解答 （1）證明：連接AD，如圖所示：
∵Rt△ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED與△CFD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠C}&{\;}\\{AD=CD}&{\;}\\{∠ADE=∠CDF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴DE=DF；
（2）解：四邊形AEDF的面積不發(fā)生變化，四邊形AEDF的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積；理由如下：
由（1）得：△AED≌△CFD，
同理：△BDE≌△ADF，
∴四邊形AEDF的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積；
（3）解：△DMN轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，△DEF的面積有最大或最小值；理由如下：
當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A或B重合時(shí)，△DEF的面積最大，
△DEF面積的最大值=△ABD的面積=$\frac{1}{2}$△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4；
當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，△DEF的面積最小，
△DEF面積的最小值=$\frac{1}{4}$△ABC的面積=2．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算；熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)，本題有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．