Question

已知四邊形ABCD是矩形，對角線AC和BD相交于點P，若在矩形的上方加一個△DEA，且使DE∥AC，AE∥BD．
（1）求證：四邊形DEAP是菱形；
（2）若AE=CD，求∠DPC的度數(shù)．

Answer 1

考點：菱形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件可證得四邊形DEAP為平行四邊形，結(jié)合矩形的對角線相等且平分可得PA=PD，可證得結(jié)論；
（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合條件可證得△PDC為等邊三角形，可求得∠DPC的度數(shù)．

解答：（1）證明：
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形DEAP為平行四邊形，
∵ABCD為矩形，
∴AP=

1

2

AC，DP=

1

2

BD，AC=BD，
∴AP=PD，PD=CP，
∴四邊形DEAP為菱形；
（2）解：
∵四邊形DEAP為菱形，
∴AE=PD，
∵AE=CD，
∴PD=CD，∵PD=CP，
∴△PDC為等邊三角形，
∴∠DPC=60°．

點評：本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵，即①有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，③四條邊都相等的四邊形是菱形．