Question

如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，分別以B、C為圓心，大于線段BC長(zhǎng)度一半的長(zhǎng)為半徑圓弧，兩弧在直線BC上方的交點(diǎn)為P，直線PD交AC于點(diǎn)E，連接BE，則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=

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AB中，一定正確的是（　�。�

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—基本作圖,線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由作圖可得出直線ED為線段BC的中垂線，即可得出①ED⊥BC正確；
（2）由直角三角形斜邊中線相等可得AE=BE，∠A=∠EBA；故②正確；
（3）利用假設(shè)法證明得出△ABE為等邊三角形與△ABE為等腰三角形矛盾．故③錯(cuò)誤；
（4）利用ED是△ABC的中位線可得ED=

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AB，故④正確．

解答：解：由題意可得直線ED為線段BC的中垂線，
∴ED⊥BC；故①正確；
∵∠ABC=90°，ED⊥BC；
∴DE∥AB，
∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBA；故②正確；
如果EB平分∠AED；
∵∠A=∠EBA，DE∥AB，
∴∠A=∠EBA=∠AEB，
∴△ABE為等邊三角形．
∵△ABE為等腰三角形．故③錯(cuò)誤；
∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AC的中點(diǎn)，
∴ED是△ABC的中位線，
∴ED=

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AB，故④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本作圖及線段的垂直平分線，解題的關(guān)鍵是確定ED是為線段BC的中垂線．