Question

15．在平面直角坐標系中，點A的坐標為（4，4）．
（1）如圖1，若點B 在x軸正半軸上，點C（1，-1），且AB=BC，AB⊥BC，求點B坐標．
（2）如圖2，若點B在x軸負半軸上，AE⊥x軸于E，AF⊥y軸于F，∠BFM=45°，MF交直線AE于M．求證：OB+BM=AM．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過A作AD⊥x軸，CE⊥x軸，垂足分別為D、E．根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DAB=∠EBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
（2）如圖2，在AM上截取AN=OB，連接FN，由已知得到OF=AF=4，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BFO=∠NFA，BF=NF，推出△BFM≌△NFM（SAS），得到BM=NM，由線段的和差即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：如圖1，過A作AD⊥x軸，CE⊥x軸，垂足分別為D、E．
∵AD⊥x軸，CE⊥x軸，
∴∠ADB=∠BEC=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠EBC+∠ABD=90°，
∴∠DAB=∠EBC，
在△ADB與△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BEC}\\{∠DAB=∠EBC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴BD=CE，
∵A（4，4），C（1，-1），
∴OD=4，CE=1，
∴OB=OD+BD=OD+CE=4+1=5，
∴B（5，0）；

（2）解：如圖2，在AM上截取AN=OB，連接FN，
∵A（4，4），
∴OF=AF=4，
在△BOF與△NAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AN=OB}\\{∠A=∠BOF}\\{OF=AF}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△NAF（SAS），
∴∠BFO=∠NFA，BF=NF，
∵∠BFM=∠BFO+∠OFM=45°，
∴∠NFA+∠OFM=45°，
∴∠OFA=90°，
∴∠NFM=∠OFA-（∠NFA+∠OFM）
=90⁰-45⁰=45°，
∴∠BFM=∠NFM，
在△BFM與△NFM中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=AN}\\{∠BFM=∠NFM}\\{FM=FM}\end{array}\right.$，
∴△BFM≌△NFM（SAS），
∴BM=NM，
∴AM=AN+NM=OB+BM．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．