Question

19．大家知道，因式分解是數(shù)學(xué)中的一種重要的恒等變形，運(yùn)用因式分解的思想方法有時(shí)能取得意想不到的效果，如化簡(jiǎn)：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{2-1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}-1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{3-2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
（1）化簡(jiǎn)：$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$；
（2）從以上化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)中找出規(guī)律，寫(xiě)出用n（n≥1，且n為你整數(shù)）表示上面規(guī)律的式子；
（3）根據(jù)以上規(guī)律計(jì)算：（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}$）（$\sqrt{2014}$+1）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$；
（2）根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$；
（3）先根據(jù)（2）的規(guī)律化簡(jiǎn)，再抵消即可求解．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}$=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$=2-$\sqrt{3}$；
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$（n≥1，且n為你整數(shù)）；
（3）（$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2013}}$）（$\sqrt{2014}$+1）
=（$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2014}$-$\sqrt{2013}$）（$\sqrt{2014}$+1）
=（$\sqrt{2014}$-1）（$\sqrt{2014}$+1）
=2014-1
=2013．

點(diǎn)評(píng) 考查了因式分解的應(yīng)用，分母有理化，關(guān)鍵是得到$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$+$\sqrt{n}$的規(guī)律．