Question

8．如圖，二次函數(shù)y=ax²-（4a-0.5）x（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，m），若點(diǎn)P是這個二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△POA為等腰直角三角形時，a的值是$\frac{5}{6}$或$\frac{5}{4}$或$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 先求得A（4，2），然后分三種情況討論求得即可．

解答 解：∵二次函數(shù)y=ax²-（4a-0.5）x（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，m），
∴m=16x-（4a-0.5）×4=2，
∴A（4，2），
∴OA的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），OA=2$\sqrt{5}$，
①當(dāng)∠APO=90°時，
過C點(diǎn)作PC⊥OA交拋物線于P，
∵△POA為等腰直角三角形，
∴PC=$\sqrt{5}$，
設(shè)直線OA的解析式為y=kx，代入A（4，2）得，2=4k，
解得k=$\frac{1}{2}$，
∴直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
∴設(shè)直線PC的解析式為y=-2x+n，
代入C（2，1）得，1=-2×2+n，
解得n=5，
∴設(shè)直線PC的解析式為y=-2x+5，
設(shè)P的坐標(biāo)為（b，-2b+5），
∴PC=$\sqrt{（b-2）^{2}+（-2b+5-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
解得b=1或b=3，
∴P（1，3）或（3，-1），
∵點(diǎn)P是這個二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，
∴當(dāng)P（1，3）時，3=a-4a+0.5，
解得a=-$\frac{5}{6}$（不合題意，舍去），
當(dāng)P（3，-1）時，-1=9a-12a+1.5，
解得a=$\frac{5}{6}$，
②當(dāng)∠AOP=90°時，
∵直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
∴直線OP的解析式為y=-2x，
∵△POA為等腰直角三角形，OP=2$\sqrt{5}$，
∴設(shè)P的坐標(biāo)為（b，-2b），
∴PO=$\sqrt{^{2}+（-2b）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得b=2或b=-2，
∴P（2，-4）或（-2，4），
∵點(diǎn)P是這個二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，
∴當(dāng)P（2，-4）時，-4=4a-8a+1，
解得a=$\frac{5}{4}$
當(dāng)P（-2，4）時，4=4a+8a-1，
解得a=$\frac{5}{12}$；
③當(dāng)∠OAP=90°時，
∵直線OA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
∴直線PA的解析式為y=-2x+n，
代入A（4，2）得，2=-8+n，
解得n=10，
∴直線PA的解析式為y=-2x+10，
∴設(shè)P的坐標(biāo)為（b，-2b+10），
∴PA=$\sqrt{（b-4）^{2}+（-2b+10-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
解得b=2或b=6，
∴P（2，6）或（6，-2），
∵點(diǎn)P是這個二次函數(shù)圖象上的一個動點(diǎn)，
∴當(dāng)P（2，6）時，6=4a-8a+1，
解得a=-$\frac{5}{4}$（舍去）
當(dāng)P（6，-2）時，-2=36a-24a+3，
解得a=-$\frac{5}{12}$（舍去）．
綜上，當(dāng)△POA為等腰直角三角形時，a的值是$\frac{5}{6}$或$\frac{5}{4}$或$\frac{5}{12}$．
故答案為$\frac{5}{6}$或$\frac{5}{4}$或$\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．