Question

已知反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（2，a）（a＞0），過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，將線段AB沿x軸正方向平移，與反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象相交于點F（p，q）．

（1）當F點恰好為線段的中點時，求直線AF的解析式 （用含a的代數(shù)式表示）；

（2）若直線AF分別與x軸、y軸交于點M、N，當q=-a2+5a時，令S=S△ANO+S△MFO（其中O是原點），求S的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）10＜S＜16．

【解析】

試題分析：（1）先把點A（2，a）代入反比例函數(shù)y=（x＞0）求出k的值，再根據(jù)F為線段的中點可知F的縱坐標為，把y=代入y=可得出x的值，進而得出點F的坐標，利用待定系數(shù)求出直線AF的解析式即可；

（2）根據(jù)點F（p，q） 在反比例函數(shù)y=的圖象上且q=-a2+5a可得出F點的坐標，故可得出直線AF的解析式，進而得出M、N的坐標，過A作AG⊥y軸于點G，則可得出AG，ON，OM，FH的長，根據(jù)S=S△ANO+S△MFO=•ON•AG+OM•FH可得出關于S、a的二次函數(shù)，根據(jù)a的取值范圍即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）∵反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點A（2，a）（a＞0），

∴k=2a，

∴y=，

∵F為線段的中點，

∴F的縱坐標為，把y=代入y=得x=4

∴F（4，），

設直線AF的解析式為y=k1x+b，

∴，

解得，

∴直線AF的解析式為：；

（2）∵F（p，q） 在反比例函數(shù)y=的圖象上，

∴q=，

∵q=-a2+5a，

∴p=，

∴F（，-a2+5a）

∴直線AF的解析式為：y=x+（6a-a2），

∴N（0，6a-a2），M（，0），

過A作AG⊥y軸于點G，

方法一：則AG=2，ON=6a-a2，OM=，FH=-a2+5a

S=S△ANO+S△MFO=•ON•AG+OM•FH

=×2×（6a-a2）+••（-a2+5a）

=-2a2+12a

=-2（a-3）2+18

∵q＞0，q＜a，

∴4＜a＜5．

∴由函數(shù)性質(zhì)可知，10＜S＜16．

考點：反比例函數(shù)綜合題．