Question

18．已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，頂點為D，拋物線的對稱軸交x軸于點E．
（1）頂點D的坐標為（1，-4a）（用含a的式子表示）；
（2）連接AC、CD、AD、BC，求△ACD與△ABC的面積之比；
（3）若點C（0，-3），點M為拋物線上的點，過M作直線CD的垂線，垂足為N，且使得∠CMN=∠BDE，求點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）將y=a（x-3）（x+1）配方，寫成頂點式為y=a（x²-2x-3）=a（x-1）²-4a，即可確定頂點D的坐標；
（2）根據(jù)點A、D的坐標求得直線AD的方程，易求直線AD與y軸的交點H的坐標，然后結(jié)合三角形的面積公式進行解答；
（3）分兩種情況進行討論：（i）當點M在對稱軸右側(cè)時．若點N在射線CD上，如備用圖1，延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G，先證明△MCN∽△DBE，由相似三角形對應(yīng)邊成比例得出MN=2CN．設(shè)CN=a，再證明△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，然后用含a的代數(shù)式表示點M的坐標，將其代入拋物線y=（x-3）（x+1），求出a的值，得到點M的坐標；若點N在射線DC上，同理可求出點M的坐標；
（ii）當點M在對稱軸左側(cè)時．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出∠MCN＞45°，而拋物線左側(cè)任意一點K，都有∠KCN＜45°，所以點M不存在．

解答 解：（1）∵y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，
∴該拋物線的解析式可設(shè)為y=a（x-3）（x+1）=a（x-1）²-4a，
∴頂點D的坐標為（1，-4a）．
故答案是：（1，-4a）；

（2）設(shè)直線AD交y軸于點H．
由（1）知，該拋物線的解析式為y=a（x-1）²-4a，則C（0，-3a）．
由A（-1，0），D（1，-4a）易得直線AD的解析式為：y=-2ax-2a．
則H（0，-2a）．
所以HC=a．
又∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ACD}}$=$\frac{\frac{1}{2}AB•|{y}_{C}|}{\frac{1}{2}CH•|{x}_{A}-{x}_{D}|}$=$\frac{\frac{1}{2}×4×4a}{\frac{1}{2}×a×（1+1）}$=6，即△ACD與△ABC的面積之比是1：6．

（3）（i）當點M在對稱軸右側(cè)時．
若點N在射線CD上，如備用圖1，延長MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2CN．
設(shè)CN=b，則MN=2b．
∵∠CDE=∠DCF=45°，
∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=$\sqrt{2}$b，
∴MF=MN+NF=3b，
∴MG=FG=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$b，
∴CG=FG-FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
∴M（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$a，-3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）．
代入拋物線y=（x-3）（x+1），解得a=$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，
∴M（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）；
若點N在射線DC上，如備用圖2，MN交y軸于點F，過點M作MG⊥y軸于點G．
∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，
∴△MCN∽△DBE，
∴$\frac{CN}{MN}$=$\frac{BE}{DE}$=$\frac{1}{2}$，
∴MN=2CN．
設(shè)CN=a，則MN=2a．
∵∠CDE=45°，
∴△CNF，△MGF均為等腰直角三角形，
∴NF=CN=a，CF=$\sqrt{2}$a，
∴MF=MN-NF=b，
∴MG=FG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
∴CG=FG+FC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$b，
∴M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，-3+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$b）．
代入拋物線y=（x-3）（x+1），解得b=5$\sqrt{2}$，
∴M（5，12）；
（ii）當點M在對稱軸左側(cè)時．
∵∠CMN=∠BDE＜45°，
∴∠MCN＞45°，
而拋物線左側(cè)任意一點K，都有∠KCN＜45°，
∴點M不存在．
綜上可知，點M坐標為（$\frac{7}{3}$，-$\frac{20}{9}$）或（5，12）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強，有一定難度．（3）中進行分類討論及運用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．