Question

6．如圖1，⊙O為△ABC的外接圓，點D在圓上，AD為△ABC中∠CAB的外角平分線．
（1）如圖1，證明：DB=DC；
（2）如圖2，延長DA交BC的延長線于M點，△CDM的內(nèi)心P在$\widehat{AC}$上，若tan∠M=$\frac{3}{4}$，求tan∠DCB的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，只要證明∠DBC=∠3即可解決問題；
（2）如圖2中，作PF⊥BM于F，PE⊥DM于E，連接PD、PM、PC、PA．首先證明MA=MC，作AH⊥CM于H，由tan∠AMC=$\frac{3}{4}$=$\frac{AH}{HM}$，設(shè)AH=3k，HM=4k，則AM=CM=5k，CF=k，推出tan∠ACH=$\frac{AH}{CH}$=$\frac{3k}{k}$=3，由∠CAM=∠DBC=∠DCB=∠ACB，可得tan∠DCB=3．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵∠2+∠DAC=180°，∠DBC+∠DAC=180°，
∴∠2=∠DBC，
∵∠1=∠3，∠1=∠2，
∴∠DBC=∠3，
∴DB=DC．

（2）解：如圖2中，作PF⊥BM于F，PE⊥DM于E，連接PD、PM、PC、PA．

∵P是△DCM的內(nèi)心，
∴∠PMA=∠PMC，∠PDA=∠PDC，
∴PE=PF，PA=PC，
易證△PEA≌△PFC，△PEM≌△PFM，
∴AE=CF，EM=FM，
∴AM=CM，
作AH⊥CM于H，
∵tan∠AMC=$\frac{3}{4}$=$\frac{AH}{HM}$，
設(shè)AH=3k，HM=4k，則AM=CM=5k，CF=k，
∴tan∠ACH=$\frac{AH}{CH}$=$\frac{3k}{k}$=3，
∵∠CAM=∠DBC=∠DCB=∠ACB，
∴tan∠DCB=3．

點評 本題考查三角形的內(nèi)心、圓周角定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．