Question

15．如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC且∠ABC=90°，AB=24，BC=18，P為銻形ABCD的對角線AC上的一點，AP=20，以P為頂點的∠MPN的兩邊分別交射線AB于M、N兩點，且∠MPN=∠CAB．設AM=x，AN=y（y＞x＞0）．
（1）求y與x之間的關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）當x取何值時，直徑為AM的⊙O₁與直徑為PC的⊙O₂相切？
（3）若直線PM、PN與邊DC分別相交于點E，F(xiàn)，當△PEF為等腰三角形時，直接寫出x的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作PH⊥AB于H．在Rt△ABC中，可得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}+1{8}^{2}}$=30，由PH∥BC，PH=20，推出$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AH}{AB}$，可得PH=12，AH=16，由△NPM∽△NAP，推出PN²=NM•NA，推出PH²+HN²=NM•NA，可得12²+（y-16）²=（y-x）•y，由此即可解決問題．
（2）如圖2中，作O₂K⊥AB于K，根據(jù)兩圓相切時，圓心距等于半徑之和，列出方程即可解決問題．
（3）分三種情形討論①如圖3中，當EF=EP時，構建方程組解決問題，構建方程組解決問題．②如圖4中，當PE=PF時．③如圖5中，當FP=FE時，易知點M與點A重合，此時x=0．

解答 解：（1）如圖1中，作PH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=24，BC=18，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}+1{8}^{2}}$=30，
∵PH∥BC，PH=20，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AH}{AB}$，
∴PH=12，AH=16，
∵∠NPM=∠PAN，∠PNM=∠PNA，
∴△NPM∽△NAP，
∴PN²=NM•NA，
∴PH²+HN²=NM•NA，
∴12²+（y-16）²=（y-x）•y，
∴y=$\frac{400}{32-x}$（0≤x＜32）．

（2）如圖2中，作O₂K⊥AB于K，

∵O₂K∥BC，
∴$\frac{{O}_{2}K}{BC}$=$\frac{A{O}_{2}}{AC}$=$\frac{AK}{AB}$，
∴AK=20，O₂K=15，
在Rt△O₁O₂K中，O₁O₂=$\sqrt{{O}_{2}{K}^{2}+{O}_{1}{K}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+（20-\frac{1}{2}x）^{2}}$，
當兩圓相切時，O₁O₂=5+$\frac{1}{2}$x，
∴15²+（20-x）²=（5+$\frac{1}{2}$x）²，
解得x=24．
∴當x為24時，⊙O₁與⊙O₂相切．

（3）①如圖3中，當EF=EP時，

∵CD∥AN，
∴∠EFP=∠PNM，
∵∠EFP=∠EPF=∠NPM=∠PAN，
∴PA=PN，∵PH⊥AN，
∴AH=HN=20，
∴y=AN=40，
∴40=$\frac{400}{32-x}$，
∴x=22．

②如圖4中，當PE=PF時．

易證PM=PN，∵PH⊥NM，
∴HM=HN，
∴20-x=y-20，
∴y=40-x，
∴40-x=$\frac{400}{32-x}$，
解得X=36-4$\sqrt{26}$或36+4$\sqrt{26}$（舍棄），
∴x=36-4$\sqrt{26}$．
③如圖5中，當FP=FE時，易知點M與點A重合，此時x=0．

綜上所述，當△PEF為等腰三角形時，x的值為0或22或36-4$\sqrt{26}$．

點評 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程組解決問題，屬于中考壓軸題．