Question

正方形ABCD中，點E、F分別是邊AD、AB的中點，連接EF．
（1）如圖1，若點G是邊BC的中點，連接FG，則EF與FG的關(guān)系為：

 

； 
（2）如圖2，若點P為BC延長線上一動點，連接FP，將線段FP以點F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FQ，連接EQ，試猜想EF、EQ、BP的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，連接AC、BD．根據(jù)“三角形中位線定理”和“正方形的對角線互相垂直平分且相等”的性質(zhì)進行推理；
（2）通過證明△QFE≌△PFG（SAS），得到該全等三角形的對應(yīng)邊相等：QE=PG．則EQ+EF=GP+GF．由BG=

2

2

FG=

2

2

EF得到GP+BG=GP+

2

2

EF=BP，即EQ+

2

2

EF=BP．

解答：解：（1）EF⊥GF且EF=GF．理由如下：
如圖1，連接AC、BD．
∵點E、F分別是邊AD、AB的中點，
∴EF∥BD，且EF=

1

2

BD．
又∵點G是邊BC的中點，
∴FG∥AC，且FG=

1

2

AC，
又∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，
∴EF⊥FG且EF=FG．
故答案是：EF⊥FG且EF=FG；

（2）EQ+

2

2

EF=BP．理由如下：
由（1）得，EF⊥GF且EF=GF．
∵將線段FP以點F為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段FQ，
∴∠QFP=∠EFG=90°，QF=PF，
∴∠QFE=∠PFG，
∴在△QFE與△PFG中，

QF=PF ∠QFE=∠PFG EF=GF

，
∴△QFE≌△PFG（SAS），
∴QE=PG．
∴EQ+EF=GP+GF．
∵BG=

2

2

FG=

2

2

EF，
∴GP+BG=GP+

2

2

EF=BP，即EQ+

2

2

EF=BP．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準確率．