Question

14．已知拋物線y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x-3交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，連結(jié)CQ．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．
（1）求直線AC的解析式；
（2）是否存在點(diǎn)P，使得△PCQ是∠CPQ為頂角的等腰三角形，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（3）連結(jié)AQ，若∠AQC為鈍角，m的取值范圍是-4＜m＜0．

Answer 1

分析 （1）由拋物線解析式可求得A、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AC解析式；
（2）可用m分別表示出P、Q的坐標(biāo)，則可用m表示出PQ、PC的長，由條件可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；
（3）以AC為直徑作圓，當(dāng)∠AQC為鈍角時(shí)，則點(diǎn)Q應(yīng)在圓內(nèi)，結(jié)合圖象可求得點(diǎn)Q的位置，可求得m的取值范圍．

解答 解：
（1）在y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x-3中，
令y=0可得：0=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{4}$x-3，解得x=-4或x=3，
∴A（-4，0），B（3，0），
令x=0可得y=-3，
∴C（0，-3），
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
把A、C坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線AC解析式為y=-$\frac{3}{4}$x-3；
（2）∵P點(diǎn)在直線AC上，點(diǎn)Q在拋物線上，且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，
∴P（m，-$\frac{3}{4}$m-3），Q（m，$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$m-3），
∴PQ=|$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{4}$m-3-（-$\frac{3}{4}$m-3）|=|$\frac{1}{4}$m²+m|，
∵C（0，-3），
∴PC=$\sqrt{{m}^{2}+[-\frac{3}{4}m-3-（-3）]^{2}}$=$\frac{5}{4}$|m|，
當(dāng)△PCQ是∠CPQ為頂角的等腰三角形時(shí)，則有PC=PQ，
∴|$\frac{1}{4}$m²+m|=$\frac{5}{4}$|m|，即$\frac{1}{4}$m²+m=±$\frac{5}{4}$m，
當(dāng)$\frac{1}{4}$m²+m=$\frac{5}{4}$m時(shí)，解得m=0或m=1，
若m=0，則P、C重合，舍去，
∴m=1，
當(dāng)$\frac{1}{4}$m²+m=-$\frac{5}{4}$m時(shí)，解得m=-6或m=0（舍去），
∴m=-6，
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，此時(shí)m的值為1或-6；
（3）以AC為直徑作圓，如圖，

當(dāng)∠AQC為鈍角時(shí)，則可知點(diǎn)Q在圓內(nèi)，
∴點(diǎn)Q在線段AC下方的拋物線上，
∴-4＜m＜0，
故答案為：-4＜m＜0．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理及數(shù)形結(jié)合思想等知識點(diǎn)．在（1）中求得A、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（2）中用m表示出PQ、PC的長度是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出Q點(diǎn)所在的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．