Question

7．（1）問題背景：
如圖①：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E、F分別是BC、CD上的點．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關系．小明同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是EF=BE+DF；
（2）探索延伸：
如圖②，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由；
（3）實際應用：
如圖③，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的
B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進．2小時后，甲、乙兩艦艇分別到達E、F處，此時在指揮中心觀測到兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AG與BE的關系，∠BAE與∠DAG的關系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EF與GF的關系，根據(jù)等量代換，可得答案；
（2）根據(jù)補角的性質(zhì)，可得∠B=∠ADG，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AG與BE的關系，∠BAE與∠DAG的關系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EF與GF的關系，根據(jù)等量代換，可得答案；
（3）根據(jù)角的和差，可得∠OEF與∠AOB的關系，∠A與∠B的關系，根據(jù)（2）的探索，可得EF與AE、BF的關系，可得答案．

解答 解：（1）在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD．
∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，
∴∠GAF=∠BAE+∠DAF．
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
故答案為：EF=BE+DF； 
（2）EF=BE+DF仍然成立．
證明：如圖1，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠B=∠ADG}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．
∵∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF=∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD．
∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，
∴∠GAF=∠BAE+∠DAF．
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF； 
（3）如圖2，
連接EF，延長AE、BF相交于點C，
∵∠AOB=∠AON+∠NCH+∠BOH=30+90+20=140°，
∠EOF=70°，
∴∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的條件，
∴結(jié)論EF=AE+BF成立，
即EF=2×（60+80）=280海里． 
答：此時兩艦艇之間的距離是280海里．

點評 本題考查了四邊形綜合題，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出AE=AG是解題關鍵，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出EF=EG，又利用了等量代換；利用探索得出規(guī)律：四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，EF=AE+BF是解題關鍵．