Question

19．如圖，一次函數y=-2x+4的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，求：
（1）A、B、C三點的坐標．
（2）過B、C兩點直線的解析式．

Answer 1

分析 （1）過點C作CD⊥x軸于D，如圖，根據坐標軸上點的坐標特征求可確定A點和B點坐標，得到OA=2，OB=4，再利用“AAS”證明△ABO≌△CAD，得到AD=OB=4，CD=OA=2，于是得到C點坐標為（6，2）；
（2）利用待定系數法求直線BC的解析式．

解答 解：（1）過點C作CD⊥x軸于D，如圖，
當y=0時，-2x+4=0，解得x=2，則A（2，0），OA=2，
當x=0時，y=-2x+4=4，則B（0，4），OB=4，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAD，
在△ABO和△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CDA}\\{∠ABO=∠CAD}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△CAD，
∴AD=OB=4，CD=OA=2，
∴C點坐標為（6，2）；
（2）設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（0，4），C（6，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故直線BC的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+4．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．也考查了待定系數法求一次函數解析式．