Question

3．感知：如圖1，已知正方形ABCD，以AD、CD為一邊向外作等邊△ADE和等邊△CDF，連接BE、EF、FB，易證△BEF是等邊三角形（不用證明）；
探究：將感知條件中的正方形ABCD改為矩形ABCD，如圖2，其他條件不變，那么△BEF是等邊三角形嗎？說(shuō)明理由；
應(yīng)用：將感知條件中的正方形ABCD改為?ABCD，如圖3，其他條件不變，則∠BEF=60度．

Answer 1

分析 感知：利用SAS即可證明兩三角形的全等，再證明△ABE≌△DFE，可得△BEF是等邊三角形；
探究：求出∠BAE，∠EDF，∠FCB的度數(shù)，繼而證明△ABE≌△CFB≌△DFE，即可得出結(jié)論；
應(yīng)用：證明方法與探究完全相同，證出結(jié)論即可．

解答 解：感知：證明：∠BAE=90°+60°=150°，∠FCB=90°+60°=150°，
在△ABE和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}\\{∠BAE=∠FCB}\\{AE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFB（SAS）．
∠FDE=360°-60°-60°-90°=150°，
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠BAE=∠FDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴BE=FE，
又∵△ABE≌△CFB，
∴BE=FB=FE，
∴△BFE是等邊三角形；

探究：△BEF是等邊三角形，理由如下：
∠BAE=90°+60°=150°，∠FCB=90°+60°=150°，∠FDE=360°-60°-60°-90°=150°，
在△ABE和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CF}\\{∠BAE=∠FCB}\\{AE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CFB（SAS），
在△ABE和△DFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠BAE=FDE}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DFE（SAS），
∴△ABE≌△CFB≌△DFE，
∴BE=EF=FB，
∴△BEF是等邊三角形；

應(yīng)用：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠BCD，
∵△ADE和△CDF是等邊三角形，
∴AE=AD=BC，AB=DC=CF，
在△ABE與△FCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BC}\\{∠BAF=∠FCB}\\{AB=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCB，
∴BE=BF，
∵∠BAE=∠BAD+∠EAD=∠BAD+60°，
∠EDF=360°-∠ADC-∠ADE-∠CDF=∠BAD+60°，
∴∠EDF=∠BAE，
在△ABE與△EDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DF}\\{∠BAE=∠EDF}\\{AE=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EDF，
∴BE=EF，∠AEB=∠DEF，
∴∠BEF=60．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四邊形的綜合，涉及了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵之處在于判斷∠BAE=∠EDF=∠FCB，難度一般．