Question

13．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M、N，AH⊥MN于點H，如圖MH=2，NH=3，求AH的長．

Answer 1

分析 延長CB至E，使BE=DN，推出Rt△AEB≌Rt△AND，△AEM≌△ANM，得到AB=AH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM=HM=2，同理DN=HN=3，根據(jù)勾股定理即可得到結論．

解答 解：延長CB至E，使BE=DN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°，
在Rt△AEB和Rt△AND中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADN}\\{BE=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEB≌Rt△AND，
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD，
∴∠EAM=∠NAM=45°，
在△AEM和△ANM中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AN}\\{∠EAM=∠NAM}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ANM，
∴S_△AEM=S_△ANM，EM=MN，
∵AB、AH是△AEM和△ANM對應邊上的高，
∴AB=AH，
∴AH=AB=BC=CD=AD，
在Rt△ABM與Rt△AHM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AH}\\{AM=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABM≌Rt△AHM，
∴BM=HM=2，
同理DN=HN=3，
設AH=x，則MC=x-2，NC=x-3，
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN²=MC²+NC²，
∴5²=（x-2）²+（x-3）²，
解得x₁=6，x₂=-1（不符合題意，舍去）
∴AH=6．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．