Question

1．在正六邊形ABCDEF中，P是AB邊上一點(diǎn)，PM∥AF交EF于M，PN∥BC交CD于N．
（1）直接寫(xiě)出$\frac{PM+PN}{ED}$的值為3
（2）若$\frac{PN}{PM}=\frac{5}{4}$，①求證：PB=2PA；②求$\frac{FD}{MN}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AH∥EF交PM于H，作BG∥CD交PK于G，設(shè)AP=a，PB=b，則AF=BC=ED=a+b，求出PM+PN，即可解決問(wèn)題；
（2）①如圖2中，作AH∥EF交PM于H，作BG∥CD交PK于G，設(shè)AP=a，PB=b，則AF=BC=a+b，由PN：PM=5：4，可得（a+2b）：（2a+b）=5：4，推出4a+8b=10a+5b，推出b=2a即可解決問(wèn)題；
②如圖3中，延長(zhǎng)FE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于K，連接DF，作NT⊥EK于T，EW⊥DF于W．設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為6m．求出DF、MN即可解決問(wèn)題；

解答 （1）解：如圖1中，作AH∥EF交PM于H，作BG∥CD交PK于G，設(shè)AP=a，PB=b，則AF=BC=ED=a+b，

在正六邊形ABCDEF中，∠F=∠FAB=∠ABC=∠C=120°
∵PM∥AF交EF于M，PN∥BC交CD于N，
∴四邊形MFAH、四邊形BCKG是平行四邊形，易證△APH，△PBG是等邊三角形，
∴HM=AF，GJ=BC，PH=PA=a，PG=PB=b，
∴PM+PK=a+b+a+a+b+b=3（a+b），
∴$\frac{PM+PN}{ED}$=$\frac{3（a+b）}{a+b}$=3．
故答案為3．

（2）①證明：如圖2中，作AH∥EF交PM于H，作BG∥CD交PK于G，設(shè)AP=a，PB=b，則AF=BC=a+b，

易知：PM=2a+b，PN=a+2b，
∵PN：PM=5：4，
∴（a+2b）：（2a+b）=5：4，
∴4a+8b=10a+5b，
∴b=2a，
∴PB=2PA．

②如圖3中，延長(zhǎng)FE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于K，連接DF，作NT⊥EK于T，EW⊥DF于W．設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為6m．

由（2）可知PA=2m，PB=4m，易知EM=4m，DN=2m，EM=10m，KN=8m，
在Rt△KNT中，∵∠NTK=90°，∠K=60°，
∴TK=$\frac{1}{2}$KN=4m，TN=4$\sqrt{3}$m，
在Rt△MTN中，∵∠MTN=90°，TM=6m，
∴MN=$\sqrt{T{M}^{2}+T{N}^{2}}$=$\sqrt{（6m）^{2}+（4\sqrt{3}m）^{2}}$=2$\sqrt{21}$m，
在Rt△EFW中，F(xiàn)W=EF•cos30°=3$\sqrt{3}$m，
∵EF=ED，EW⊥DF，
∴FW=WD，
∴DF=6$\sqrt{3}$m，
∴$\frac{FD}{MN}$=$\frac{6\sqrt{3}m}{2\sqrt{21}m}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正多邊形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)．解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造特殊四邊形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．