Question

12．已知：如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于點D、E，過點D作DF⊥BC，垂足為F．
（1）求證：DF為⊙O的切線；
（2）若等邊三角形ABC的邊長為4，求DF的長；
（3）寫出求圖中陰影部分的面積的思路．（不求計算結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=60°，再證明OD∥BC，然后利用DF⊥BC可得OD⊥BC，再根據(jù)切線的判定定理可判斷DF為⊙O的切線；
（2）利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC=4，∠C=60°，則CD=2，然后在Rt△CDF中利用正弦的定義可計算出DF；
（3）連接OE，如圖，根據(jù)扇形的面積公式，利用S_陰影部分=S_梯形ODFE-S_扇形DOE進行計算．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A=60°，
∴∠ODA=∠C，
∴OD∥BC，
∵DF⊥BC，
∴OD⊥BC，
∴DF為⊙O的切線；
（2）解：∵等邊三角形ABC的邊長為4，
∴AB=AC=4，∠C=60°，
∵AO=AD=2，
∴CD=2，
在Rt△CDF中，∵sinC=$\frac{DF}{CD}$，
∴DF=2sin60°=$\sqrt{3}$；
（3）解：連接OE，如圖，
∵CF=$\frac{1}{2}$CD=1，
∴EF=CE-CF=1，
∴S_陰影部分=S_梯形ODFE-S_扇形DOE=$\frac{1}{2}$（1+2）•$\sqrt{3}$-$\frac{60•π•{2}^{2}}{360}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{2}{3}$π．

點評 本題考查了切線判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和利用割補法計算補規(guī)則圖形的面積．