Question

4．二次函數(shù)y=ax²+bx+c的部分圖象如圖所示，其中圖象與x軸交于點A（-1，0），與y軸交于點C（0，-5），且經(jīng)過點D（3，-8）．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）將此二次函數(shù)的解析式寫成y=a（x-h）²+k的形式，并直接寫出頂點坐標以及它與x軸的另一個交點B的坐標．
（3）利用以上信息解答下列問題：若關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c-t=0（t為實數(shù)）在-1＜x＜3的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是-9≤t＜0．

Answer 1

分析 （1）把點A、B、C的坐標代入函數(shù)表達式，然后根據(jù) 三元一次方程的解法求出a、b、c的值，即可得到二次函數(shù)的解析式；
（2）利用配方法整理，然后根據(jù)頂點式寫出頂點坐標，再根據(jù)對稱軸解析式與點A的坐標求出與x軸的另一交點坐標；
（3）由（1）可知a，b，c的值，再根據(jù)一元二次方程x²-4x-5-t=0（t為實數(shù)）在-1＜x＜3的范圍內(nèi)有解相當(dāng)于y=x²-4x-5與y=t在x的范圍內(nèi)有交點解答即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0①}\\{c=-5②}\\{9a+3b+c=-8③}\end{array}\right.$，
②分別代入①、③得，
a-b=5④，
3a+b=-1⑤，
④+⑤得，4a=4，
解得a=1，
把a=1代入④得，1-b=5，
解得b=-4，
∴方程組的解是
$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴此二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x-5；
（2）y=x²-4x-5=x²-4x+4-4-5=（x-2）²-9，
二次函數(shù)的解析式為y=（x-2）²-9，
頂點坐標為（2，-9），
對稱軸為x=2，
設(shè)另一點坐標為B（a，0），
則-1+a=2×2，
解得a=5，
∴點B的坐標是B（5，0）；
（3）由（1）可知二次函數(shù)解析式為y=x²-4x-5，
即y=（x-2）²-9，
x=-1時，y=9-9=0，
x=3時，y=1-9=-8，
∵關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c-t=0（t為實數(shù)）在-1＜x＜3的范圍內(nèi)有解相當(dāng)于y=ax²+bx+c與直線y=t的交點的橫坐標，
∴當(dāng)-9≤t＜0時，在-1＜x＜3的范圍內(nèi)有解．
故答案為：-9≤t＜0．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把點的坐標代入函數(shù)表達式，然后解三元一次方程組即可，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及三種形式的相互轉(zhuǎn)化也很重要；本題還考查了二次函數(shù)與不等式，把方程的解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點的問題求解是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．