Question

19．如圖，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，E是BC的中點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)F，則CF的長(zhǎng)是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BAE=∠ADB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE=1，求得BC=2，根據(jù)勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，根據(jù)三角形的面積公式得到BF=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過F作FG⊥BC于G，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CG=$\frac{4}{3}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{BE}$，
∵E是BC的中點(diǎn)，
∴AD=2BE，
∴2BE²=AB²=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BF=$\frac{AB•BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
過F作FG⊥BC于G，
∴FG∥CD，
∴△BFG∽△BDC，
∴$\frac{FG}{CD}$=$\frac{BF}{BD}$=$\frac{BG}{BC}$，
∴FG=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，BG=$\frac{2}{3}$，
∴CG=$\frac{4}{3}$，
∴CF=$\sqrt{F{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．