Question

14．如圖，在矩形ABCD中，AB=8厘米，BC=6厘米，點(diǎn)P從點(diǎn)C沿CD方向向終點(diǎn)D移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A沿AC方向向終點(diǎn)C移動(dòng)，速度均為每秒1厘米，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)
（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，△CPQ與△ACD相似？
（2）設(shè)四邊形ADPQ的面積為S，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最小值？

Answer 1

分析 （1）分兩種情況：①當(dāng)PQ∥AD時(shí)，△QCP∽△ACD；②當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，△PCQ∽△ACD；即可求出答案；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥BC于M，根據(jù)相似三角形的判定得出△PCM∽△ACD，求出PM，根據(jù)S等于△ABC的面積減去△PQC的面積，代入求出即可．

解答 解：（1）分兩種情況：①PQ∥AD，如圖1，
∴△QCP∽△ACD，
∴$\frac{PC}{CD}$=$\frac{CQ}{AC}$，
∵AB=8厘米，BC=6厘米，∠D=90°，
∴CP=t，CQ=10-t，AC=10厘米，
∴$\frac{t}{8}$=$\frac{10-t}{10}$，
∴t=$\frac{40}{9}$；
②當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，如圖2，
∴△PCQ∽△ACD；
∴$\frac{CQ}{CD}$=$\frac{CP}{CA}$，
∵AB=8厘米，BC=6厘米，∠D=90°，
∴CP=t，CQ=10-t，AC=10厘米，
∴$\frac{10-t}{8}$=$\frac{t}{10}$，
∴t=$\frac{50}{9}$；
∴t=$\frac{40}{9}$或$\frac{50}{9}$時(shí)，△CPQ與△ACD相似；
（2）如圖3，
過(guò)P作PM⊥AC于M，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=∠B=∠PMC=90°，AD=BC=6，AB=DC=8，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10，
∵∠PMC=∠D，∠PCM=∠DCA，
∴△PCM∽△ACD，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PM}{AD}$，
∴$\frac{t×1}{10}$=$\frac{PM}{6}$，
解得：PM=$\frac{3}{5}$t，
∵四邊形ADPQ的面積為S，
∴S=S_△ADC-S_△PQC
=$\frac{1}{2}$×AD×DC-$\frac{1}{2}$×CQ×PM
=$\frac{1}{2}×6×8$-$\frac{1}{2}×$（10-t）×$\frac{3}{5}$t
=$\frac{3}{5}$t²-3t+24
=$\frac{3}{5}$（t-5）²+$\frac{33}{2}$，
∵a=$\frac{3}{5}$＞0，
∴圖象的開(kāi)口向上，即有最小值，
當(dāng)t為5時(shí)，S有最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的最值問(wèn)題的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目比較好，難度偏大．