Question

20．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10cm，BC=12cm，對(duì)角線AC=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿著邊CB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位：同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿著邊AB向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后立刻以原來(lái)的速度沿AB返回，點(diǎn)Q的速度為每秒1個(gè)單位，過(guò)P點(diǎn)與AB平行的直線交線段AD于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）當(dāng)0＜t＜10時(shí)，設(shè)四邊形AQPE的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)0＜t＜10時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形AQPE的面積為平行四邊形ABCD面積的一半？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)0＜t＜10時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥PE？若存在，求出t的值；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）當(dāng)0＜t＜12時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B？存在，請(qǐng)直接給出相應(yīng)的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的判斷和性質(zhì)，表示出BQ=t，QH=$\frac{4}{5}$t，PF=$\frac{5}{6}$t，相似三角形的面積比等于相似比的平方，S_△CPF=$\frac{12}{25}$t²，從而y用三角形的面積的差表示出，即可；
（2）假設(shè)存在，建立方程，求出方程的解，全不符合題意，得到不存在；
（3）假設(shè)存在，建立方程，求出方程的解符合題意，即存在時(shí)間t，使PQ⊥PE；
（4）假設(shè)存在，由線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得到BQ=BP，建立方程，求出t，即可．

解答
解：如圖1，作AG⊥BC于G，作QH⊥BC于H，
∴QH∥AG，
∴$\frac{BQ}{AB}$=$\frac{QH}{AG}$，
∵AG⊥BC，AB=AC=10，BC=12，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6，AG=8，
∵BQ=t，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{QH}{8}$，
∴QH=$\frac{4}{5}$t，
∵PE∥AB，
∴$\frac{PF}{AB}$=$\frac{PC}{BC}$，
∴$\frac{PF}{10}$=$\frac{t}{12}$，
∴PF=$\frac{5}{6}$t，
∵BC=12，AG=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AG=48，
（1）∵PE∥AB，
∴$\frac{{S}_{△CPF}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{PC}{AB}$）²=$\frac{{PC}^{2}}{{AB}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}}{100}$，
∴S_△CPF=$\frac{{t}^{2}}{100}$×S_△ABC=$\frac{{t}^{2}}{100}$×48=$\frac{12}{25}$t²，
∵BP=BC-PC=12-t，QH=$\frac{4}{5}$t，
∴S△BPQ=$\frac{1}{2}$BP×QH=$\frac{1}{2}$×（12-t）×$\frac{4}{5}$t，
∴y=S_{四邊形AQPE}=S_△ABC-S_△BPQ-S_△CPF=48-$\frac{1}{2}$×（12-t）×$\frac{4}{5}$t-$\frac{12}{25}$t²=-$\frac{2}{25}$t²-$\frac{24}{5}$t+48，（0＜t＜10）
（2）解：假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使四邊形AQPE的面積為平行四邊形ABCD面積的一半，
由（1）由S_{四邊形AQPE}=-$\frac{2}{25}$t²-$\frac{24}{5}$t+48，
∴=-$\frac{2}{25}$t²-$\frac{24}{5}$t+48=48，
∴t=0（舍）或t=-60（舍），
∴假設(shè)不成立，
∴不存在這樣某一時(shí)刻t，使四邊形AQPE的面積為平行四邊形ABCD面積的一半；
（3）解：假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使PQ⊥PE，
∵PE∥AB，
∴∠BQP=90°，
∴∠BQP=∠AGB，∠B=∠B，
∴△BQP∽△BGA，
∴$\frac{BQ}{BG}$=$\frac{BP}{AB}$，
∵BG=6，BQ=t，BP=12-t，AB=10，
∴$\frac{t}{6}$=$\frac{12-t}{10}$，
∴t=$\frac{9}{2}$，
∴存在t=$\frac{9}{2}$，使PQ⊥PE；
（4）假設(shè)存在某一時(shí)刻t，使線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
∴BQ=BP，
當(dāng)0＜t＜10時(shí)，
∵BP=12-t，BQ=t，
∴12-t=t，
∴t=6，
∴存在t=6，使線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
當(dāng)10≤t＜12時(shí)，
∵BQ=20-t，BP=12-t，
∴20-t=12-t，明顯等式不成立，
∴不存在某一時(shí)刻t，使線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，
即：存在t=6，使線段PQ的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，計(jì)算圖形面積的方法，解本題的關(guān)鍵是建立y與t的函數(shù)關(guān)系式．