Question

14．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF分別是AB、CD的中點(diǎn)，線段EF交AC、BD于M、N兩點(diǎn)，MN=1，AD＜BC，且AD、BC的長(zhǎng)是拋物線y=x²-2kx+k²-k+2與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
（1）求此二次函數(shù)的解析式．
（2）求AD、BC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）如圖，連接AN，延長(zhǎng)AN交BC于H．首先證明MN=$\frac{1}{2}$HC，由MN=1，推出HC=2，再證明AD=BH，推出BC-AD=2，根據(jù)根由系數(shù)的關(guān)系列出方程即可解決問(wèn)題．
（2）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖，連接AN，延長(zhǎng)AN交BC于H．

∵AD∥BC，AE=EB，DF=FC，
∴AD∥EF∥CB，
∴AN=NH，DN=BN，AM=MC，
∴MN=$\frac{1}{2}$HC，∵M(jìn)N=1，
∴HC=2，
在△AND和△HNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=HN}\\{∠AND=∠BNH}\\{DN=BN}\end{array}\right.$，
∴△AND≌△HNB，
∴AD=BH，
∴BC-AD=BH=2，
∵AD、BC的長(zhǎng)是拋物線y=x²-2kx+k²-k+2與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
∴（BC-AD）²=（BC+AD）²-4BC•AD，
∴4=4k²-4×（k²-k+2），
∴k=3，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-6x+8．

（2）∵AD、BC的長(zhǎng)是拋物線y=x²-6x+8與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
令y=0，x²-6x+8=0，解得x=2或4，
∴BC=4，AD=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法、梯形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，靈活應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系，屬于中考�？碱}型．