Question

16．如圖1所示，在邊長為1的正方形ABCD中，P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，AP的延長線與∠ABC的外角平分線交于E，∠EAF=45°，且AF交∠ADC的外角平分線交于F，把△ADF繞A旋轉(zhuǎn)至△ABQ．
（Ⅰ）如圖1所示，當(dāng)BE=DF時(shí)，求BQ的長；
（Ⅱ）如圖2所示．
（1）請(qǐng)?zhí)骄烤�段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記BP=x（0＜x＜1），S_△BEQ=y，探究y是否隨著x的變化而變化，若不變化，求出y的值，若變化，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明△ABE≌△ADF，得∠BAE=∠DAF．由∠EAF=45°，∠ADF=135°，可得∠DAF=∠AFD=22.5°，所以BQ=DF=AD=1．
（Ⅱ）（1）由題意易知△QBE為直角三角形，在直角△QBE中，BE、BQ、QE滿足勾股定理關(guān)系．由于DF=BQ，說明QE=EF是關(guān)鍵．可通過證明△AQE≌△FAE來實(shí)現(xiàn)．
（2）易證明當(dāng)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，△ABE∽△FDA，即△ABE∽△QBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，易得QB×BE=1．由y=S△BQE的面積=$\frac{1}{2}$×QB×BE得證．

解答 解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=1，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°．
∵BE、DF分別是正方形ABCD的外角平分線，
∴∠EBC=∠CDF=45°．
∴∠ABE=∠ADF=135°．
在△ABE和△ADF中，由于$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABE=∠ADF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ABE．
∴∠BAE=∠DAF
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF=$\frac{1}{2}$（90°-45°）=22.5°．
∵∠ADF=135°，
∴∠AFD=22.5°，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AB=DF=1．
∵△ADF繞A旋轉(zhuǎn)至△ABQ，
∴△ADF≌△ABQ，
∴BQ=DF=1．
（Ⅱ）（1）BE²+DF²=EF²．
證明：∵△ADF≌△ABQ，
∴BQ=DF，AQ=AF，∠QAB=∠DAF=22.5°，∠ADF=∠ABQ=135°，
又∵∠ABE=135°，
∴∠QBE=360°-∠ABQ-∠ABE=90°，
在RT△BQE中，BE²+BQ²=QE²．即BE²+DF²=QE²．
∵∠QAB=∠BAE=∠DAF=22.5°，
∴∠QAE=45°
∴∠QAE=∠EAF．
在△QAE和△FAE中，由于$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AF}\\{∠QAE=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△QAE≌△FAE，
∴QE=EF．
∴BE²+DF²=EF²．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵∠ADF=∠ABE=135°，
∴∠BAE+∠BEA=45°，
又∵∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠DAF=∠AEB．
∴△ABE∽△FDA．

由于△ADF≌△ABQ，
∴△ABE∽△QBA．
∴$\frac{BQ}{AB}=\frac{AB}{BE}$
即BQ×BE=1．
∵△BQE為直角三角形，
∴y=S_△QBE=$\frac{1}{2}$×BQ×BE=$\frac{1}{2}$．
所以y不隨x（0＜x＜1）的變化而變化，恒等于$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，是個(gè)綜合性較強(qiáng)的題目．解決本題的關(guān)鍵是通過全等，把分散的線段集中在直角三角形中，利用直角三角形的勾股定理和面積解決問題．