Question

9．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和⊙C，給出如下定義：若存在過點(diǎn)P的直線l交⊙C于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，在P，A，B三點(diǎn)中，位于中間的點(diǎn)恰為以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，則稱點(diǎn)P為⊙C 的相鄰點(diǎn)，直線l為⊙C關(guān)于點(diǎn)P的相鄰線．
（1）當(dāng)⊙O的半徑為1時(shí)，
①分別判斷在點(diǎn)D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），E（0，-$\sqrt{3}$），F(xiàn)（4，0）中，是⊙O的相鄰點(diǎn)有D或E；
②請(qǐng)從①中的答案中，任選一個(gè)相鄰點(diǎn)，在圖1中做出⊙O關(guān)于它的一條相鄰線，并說明你的作圖過程；
③點(diǎn)P在直線y=-x+3上，若點(diǎn)P為⊙O的相鄰點(diǎn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為1，直線y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}$與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，N，若線段MN上存在⊙C的相鄰點(diǎn)P，直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由相鄰點(diǎn)的定義可知：在圓C內(nèi)的點(diǎn)必為相鄰點(diǎn)，在圓C外的點(diǎn)必須滿足，2AB²=PC²-1，其中A為PB的中點(diǎn)，且AB≤2，所以若半徑為1的圓C有相鄰點(diǎn)P，則PC的長必須滿足0≤PC≤3且PC≠1，分別求出D、E、F到⊙O的距離即可判斷．求出直線y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，3）和（3，0），根據(jù)（1）問中結(jié)論可知，P的橫坐標(biāo)的取值范圍是：0≤x≤3；
（2）根據(jù)（1）問中可知：0≤PC≤3且PC≠1，又因?yàn)辄c(diǎn)P在線段MN上移動(dòng)，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)P為圓心，半徑為3的圓內(nèi)，且不能在以點(diǎn)P為圓心，半徑為1的圓上，再根據(jù)點(diǎn)C在x軸上，即可得出C的橫坐標(biāo)取值范圍．

解答 解：（1）由定義可知，
當(dāng)點(diǎn)P在⊙C內(nèi)時(shí)，
由垂徑定理可知，點(diǎn)P必為⊙C的相鄰點(diǎn)，
此時(shí)，0≤PC＜1；
當(dāng)點(diǎn)P在⊙C外時(shí)，
設(shè)點(diǎn)A是PB的中點(diǎn)，
連接PC交⊙C于點(diǎn)M，
延長PC交⊙C于點(diǎn)N，
連接AM，BN，
∵∠AMP+∠NMA=180°，
∠B+∠NMA=180°，
∴∠AMP=∠B，
∵∠P=∠P，
∴△AMP∽△NBP，
∴$\frac{PA}{PM}$=$\frac{PN}{PB}$，
∴PA•PB=PM•PN，
∵點(diǎn)A是PB的中點(diǎn)，
∴AB=PA，
又∵⊙C的半徑為1，
∴2AB²=（PC-CM）（PC+CN），
∴2AB²=PC²-1，
又∵AB是⊙C的弦，
∴AB≤2，
∴2AB²≤8，
∴PC²-1≤8，
∴PC²≤9，
∴PC≤3，
∵點(diǎn)P在⊙C外，
∴PC＞1，
∴1＜PC≤3，
當(dāng)點(diǎn)P在⊙C上時(shí)，
此時(shí)PC=1，但不符合題意，
綜上所述，半徑為1的⊙C，當(dāng)點(diǎn)P與圓心C的距離滿足：0≤PC≤3，且PC≠1時(shí)，點(diǎn)P為⊙C的相鄰點(diǎn)；
①∵D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），
∴DO=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，
∵E（0，-$\sqrt{3}$），
∴OE=$\sqrt{3}$，
∵F（4，0），
∴OF=4，
∴D和E是⊙O的相鄰點(diǎn)；

②連接OD，過點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于A、B兩點(diǎn)；

③令x=0代入y=-x+3，
∴y=3，
令y=0代入y=-x+3，
∴x=3，
∴y=-x+3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，3）和（3，0）
∵由于點(diǎn)P在直線y=-x+3上，且點(diǎn)P是⊙O的相鄰點(diǎn)，
∴0≤PO≤3，且PO≠1
又∵點(diǎn)P在⊙O外，
∴1＜PO≤3，
∴p的橫坐標(biāo)范圍為：0≤x≤3；

（2）令x=0代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴y=2$\sqrt{3}$，
∴N（0，2$\sqrt{3}$），
令y=0代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴x=6，
∴M（6，0），
∵點(diǎn)P是半徑為1的⊙C的相鄰點(diǎn)，
∴0≤PC≤3且PC≠1，
∴點(diǎn)C在以點(diǎn)P為圓心，半徑為3的圓內(nèi)，且不能在以點(diǎn)P為圓心，半徑為1的圓上，
∵點(diǎn)C在x軸上，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)范圍的取值范圍：0≤x≤9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)相鄰點(diǎn)的定義，得出點(diǎn)P與圓心C的距離范圍，本題涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的性質(zhì)等知識(shí)，綜合程度較高，需要學(xué)生認(rèn)真理解題意．