Question

如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點(diǎn)，AB=16cm，BC=6cm，動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動，一直到達(dá)點(diǎn)B為止；點(diǎn)Q以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動，設(shè)運(yùn)動的時間為t．
（1）t為何值時，四邊形APQD為矩形？
（2）t為何值時，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是6

5

m？
（3）在移動的過程中，PQ能否將矩形ABCD分成面積比為1：2的兩部分？若能，求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：幾何動點(diǎn)問題

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，根據(jù)等量關(guān)系：AP=DQ，列出方程即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理，根據(jù)等量關(guān)系：P、Q兩點(diǎn)之間的距離是6

5

m，列出方程即可求解；
（3）分兩種情況：梯形ADQP的面積：矩形ABCD的面積=1：3；梯形BCQP的面積：矩形ABCD的面積=2：3；進(jìn)行討論即可求解．

解答：解：（1）依題意有
3t=16-2t，
解得t=3.2．
故t為3.2s時，四邊形APQD為矩形．
（2）依題意有
（3t-16+2t）²+6²=（6

5

）²，
解得t₁=5.6（不合題意舍去），t₂=0.8．
故t為0.8時，P、Q兩點(diǎn)之間的距離是6

5

m．
（3）梯形ADQP的面積：矩形ABCD的面積=1：3，依題意有
3t（16-2t）：（16×6）=1：3，
解得t₁=

12+4 6

3

（不合題意舍去），t₂=

12-4 6

3

；
梯形BCQP的面積：矩形ABCD的面積=2：3，依題意有
3t（16-2t）：（16×6）=2：3，
解得t₁=

12+4 3

3

（不合題意舍去），t₂=

12-4 3

3

．
故t的值是

12-4 6

3

或

12-4 3

3

．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)及判定，勾股定理，梯形的面積等知識，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．