Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，且AE=CD=8，∠BAC=

1

2

∠BOD．
（1）求證：

BC

=

BD

；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接OC，證明∠BOD=∠BOC，即可證得；
（2）設(shè)OD=r，則OE=AE-r=8-r，在Rt△ODE中利用勾股定理即可得到一個(gè)關(guān)于r的方程，從而求解．

解答：解：（1）連接OC．
∵∠BOC=2∠BAC，
又∵∠BAC=

1

2

∠BOD，
∴∠BOD=∠BOC，
∴

BC

=

BD

，

（2）∴AB⊥CD，
∵AE=CD=8，
∴DE═

1

2

CD=4，
設(shè)OD=r，則OE=AE-r=8-r，
在Rt△ODE中，OD=r，DE=4，OE=8-r，
∵OD²=DE²+OE²，即r²=4²+（8-r）²，
解得r=5．

點(diǎn)評：此題涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計(jì)算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉(zhuǎn)換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形予以求解．