Question

如圖，拋物線y=

2

3

x2-

8

3

x-8與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點．

（1）求△AOB的外接圓的面積；
（2）若動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位沿射線AC方向運動；同時，點Q從點B出發(fā)，以每秒0.5個單位沿射線BA方向運動，當點P到底點C處時，兩點同時停止運動．問當t為何值時，以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似？
（3）若M為線段AB上一個動點，過點M作MN平行于y軸交拋物線于點N．問：是否存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先求出AB兩點的坐標，根據(jù)勾股定理得出AB的長，進而得出結(jié)論；
（2）設(shè)AP=t，則AQ=10-0.5t，再根據(jù)△APQ∽△AOB與△AQP∽△AOB兩種情況進行討論；
（3）設(shè)點M的橫坐標為x，則M（x，x-8），N（x，

2

3

x²-x-8），四邊形OMNB為平行四邊形，則MN=OB=8，再根據(jù)△＜0即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）由題意得：A（6，0），B（0，-8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB=10     
∴S=π•（5）²=25π．         

（2）設(shè)AP=t，則AQ=10-0.5t，
∵A（6，0），C（-2，0），
∴AC=8，
∴0≤t≤8
若△APQ∽△AOB，則

AP

AO

=

AQ

AM

．即∴t=

60

13

．        
若△AQP∽△AOB，則

AP

AB

=

AQ

AB

．∴t=

100

11

＞8（舍去）
∴當t=

60

13

時，以A、P、Q為頂點的三角形與△OAB相似．

（3）直線AB的函數(shù)關(guān)系式為y=x-8．       
∵MN∥y軸，
∴設(shè)點M的橫坐標為x，則M（x，x-8），N（x，

2

3

x²-x-8）．
若四邊形OMNB為平行四邊形，則MN=OB=8
∴（x-8）-（

2

3

x²-x-8）=8，即x²-6x+12=0，
∵△＜0，
∴此方程無實數(shù)根，
∴不存在這樣的點M，使得四邊形OMNB恰為平行四邊形．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到拋物線與x軸的交點問題、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度適中．