Question

19．已知PA、PB是⊙O的兩條切線，點C是⊙O上異于A、B的一點，過C點的切線交PA、PB于D、E兩點，若∠APB=40°，則∠DOE=70°或110°．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出符合條件的兩種圖形，求出∠AOB的值，求出∠DOE=∠DOC+∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC+$\frac{1}{2}$∠BOC，代入即可求出答案．

解答 解：分為兩種情況：
①如圖1，連接OA、OB、OC，

∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-40°=140°，
∵DE切⊙O于C，
∴OC⊥DE，
∴∠DCO=∠ECO=90°，
∵PA、PB、DE是⊙O的切線，切點是A、B、C，
∴∠ADO=∠CDO，∠CEO=∠BEO，
∵∠AOD=180°-∠OAD-∠ADO，∠COD=180°-∠OCD-∠CDO，
∴∠AOD=∠COD，
同理可證：∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×140°=70°；
②如圖2，∠DOE=$\frac{1}{2}$×（360°-140°）=110°．

故答案為：70°或110°．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，三角形的內(nèi)角和定理等知識點的應(yīng)用，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力，題目比較好，有一定的難度，注意符合條件的有兩種情況．