Question

3．如圖，P₁、P₂是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A₁坐標(biāo)為（4，0），若△P₁OA₁與△P₂A₁A₂均為等邊三角形，則點(diǎn)A₂的橫坐標(biāo)為4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于△P₁OA₁為等邊三角形，作P₁C⊥OA₁，垂足為C，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理可求出點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P₁是反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）圖象上的一點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出此反比例函數(shù)的解析式；作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．設(shè)A₁D=a，由于△P₂A₁A₂為等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，可用含a的代數(shù)式分別表示點(diǎn)P₂的橫、縱坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的解析式中，求出a的值，進(jìn)而得出A₂點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：作P₁C⊥OA₁，垂足為C，
∵點(diǎn)A₁坐標(biāo)為（4，0），
∴△P₁OA₁為邊長(zhǎng)是4的等邊三角形，
∴OC=2，P₁C=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴P₁（2，2$\sqrt{3}$）．
代入y=$\frac{k}{x}$，得k=4$\sqrt{3}$，
所以反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$．
作P₂D⊥A₁A₂，垂足為D．
設(shè)A₁D=a，
則OD=4+a，P₂D=$\sqrt{3}$a，
∴P₂（4+a，$\sqrt{3}$a）．
∵P₂（4+a，$\sqrt{3}$a）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴代入y=$\frac{4\sqrt{3}}{x}$，得（4+a）•$\sqrt{3}$a=4$\sqrt{3}$，
化簡(jiǎn)得a²+2a-1=0
解得：a=-2±2$\sqrt{2}$．
∵a＞0，
∴a=-2+2$\sqrt{2}$．
∴A₁A₂=-4+4$\sqrt{2}$，
∴OA₂=OA₁+A₁A₂=4$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，0）．
故答案為：4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)的定義求解是解答此題的關(guān)鍵．