Question

6．喜歡鉆研的小亮對(duì)75°角的三角函數(shù)發(fā)生了興趣，他想：75度雖然不是特殊角，但和特殊角有著密切的關(guān)系，能否通過(guò)特殊角的三角函數(shù)值求75°的正弦值呢？經(jīng)研究，他發(fā)現(xiàn)：sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°，于是他大膽猜想：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ（α和β為銳角）．將圖1（a）等積變形為圖1（b）可用于勾股定理的證明，現(xiàn)將這兩幅圖分別“壓扁”成圖2（a）和圖2（b）．如圖，銳角為α的直角三角形斜邊為m，銳角為β的直角三角形斜邊為n，請(qǐng)你借助圖2（a）和圖2（b）證明上述結(jié)論能成立．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形的面積公式求出圖2（a）中?ABCD的面積，根據(jù)矩形的面積公式求出圖2（b）中矩形ABCD與CEFG的面積，由圖2（a）與圖2（b）中空白部分的面積相等即可證明sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

解答 解：如圖2（a），原來(lái)內(nèi)部的正方形變成了一個(gè)平行四邊形，m，n為相鄰兩邊，其夾角為α+β，
作?ABCD的高AE，則AE=AB•sinB=msin（180°-α-β）=msin（α+β），
則S_?ABCD=BC•AE=n•msin（α+β）=mnsin（α+β）．
如圖2（b），原來(lái)的兩個(gè)小正方形變成了兩個(gè)矩形ABCD與CEFG，
則S_矩形ABCD=BC•AB=nsinβ•mcosα=mncosαsinβ，
S_矩形CEFG=CE•CG=msinα•ncosβ=mnsinαcosβ，
∵圖2（a）與圖2（b）中空白部分的面積相等，
∴mnsin（α+β）=mncosαsinβ+mnsinαcosβ，
化簡(jiǎn)得sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，圖形面積的計(jì)算，理解兩幅圖分別“壓扁”成圖2（a）和圖2（b）后的形狀得出它們空白部分的面積相等是解題的關(guān)鍵．